Pré-Vestibular ⇒ (UEPG) 2017 Ves.verão Mat. questão 13 - função Tópico resolvido

[jvsdv]

– Ao construir o gráfico de uma função quadrática 𝑓(𝑥), um aluno nota que o ponto (4,-4) é o vértice da parábola e o ponto (0,12) pertence ao gráfico. Em relação a essa função 𝑓(𝑥), assinale o que for correto.

01) 𝑓(1) − 𝑓(7) = 𝑓(0) − 𝑓(8)
02) [tex3]f\left(\frac{1}{2}\right)[/tex3] > [tex3]f\left(\frac{7}{2}\right)[/tex3]
04) 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 no intervalo real (−∞, 2] ∪ [6, +∞)
08) 𝑓(𝑥) < 2 para todo 𝑥 real

Resposta

---

R:01,02

Alguém poderia me explicar? se for possível coloque assim: 01 - resposta , 02- resposta, 04,08,16 respectivamente, só pra ficar mais organizado e compreensível. Obrigado desde já.

[snooplammer]

jvsdv,

Irei lhe informar alguns passos que se deve seguir, acredito que você conseguirá aprender mais do que se eu simplesmente fizesse

Observe que ele dá o vértice(importante) e diz que o ponto [tex3](0,12)[/tex3] pertence a função quadrática

É importante lembrar que os pontos do vértice são dados por [tex3](x_v,y_v)=(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})[/tex3]

Também é importante lembrar da equação de um quadrática [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3] e quando [tex3]x=0; y=12[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Olá, jvsdv

Em geral, chama-se quadrática o seguinte tipo de função:

[tex3]f(X) = aX^2 + bX + c \quad (a \neq 0)[/tex3]

Então, devemos determinar a função [tex3]f(X)[/tex3] para julgarmos as alternativas.

Do enunciado, descobrimos, pelo ponto [tex3](0, \,12), \,[/tex3] que

[tex3]12 = a(0)^2 + b(0) + c \,\, \implies \,\, c = 12[/tex3]

Além disso, como o vértice da parábola é [tex3](4, \, -4), \,[/tex3] vem:

[tex3]-4 = a(4)^2 + b(4) + 12 \,\, \iff \,\, 16a + 4b = -16 \quad \color{NavyBlue}\text{(I)}[/tex3]

Agora, sabemos que o [tex3]X[/tex3] do vértice [tex3](X_{\text{v}})[/tex3] é dado pela seguinte relação:

[tex3]X_{\text{v}} = \frac{-b}{2a}[/tex3]

Daí,

[tex3]4 = \frac{-b}{2a} \iff 8a +b= 0 \quad \color{NavyBlue}\text{(II)}[/tex3]

Agora, é suficiente resolver o seguinte sistema para terminar o problema:

[tex3]\begin{cases}
16a + 4b = -16 \quad \color{NavyBlue}\text{(I)} \\\\

8a + b = 0\quad \color{NavyBlue}\text{(II)}
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando [tex3]\color{NavyBlue}\text{(II)}[/tex3] por [tex3](-2)[/tex3] e somando com [tex3]\color{NavyBlue}\text{(I)}, \,[/tex3] obtemos:

[tex3]2b = -16 \,\, \implies \,\, b = -8 [/tex3]

Substituindo em [tex3]{\color{NavyBlue}\text{(II)}}, \, a = 1.[/tex3]

Portanto, a função [tex3]f(X)[/tex3] é dada por:

[tex3]f(X) = X^2 -8X + 12 [/tex3]

Deixo a análise dos itens como dever de casa para você! Qlq dúvida você manda aqui.