Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Progressão Aritmética e Geométrica Tópico resolvido

[gt08]

Em uma progressão aritmética (P.A.) crescente, o segundo, o quarto e o nono termo, nessa ordem, formam uma progressão geométrica (P.G.) de três termos.
Se o quarto termo da P.A. é igual a 10, então a razão da P.G. é

A 1.
B 1,5.
C 2.
D 2,5.
E 3.

Resposta

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D

[Augustus]

Na P.A:
[tex3]an=a1+(n-1).R[/tex3]

[tex3]a2=a1+R[/tex3]
[tex3]a4=a1+3R[/tex3]
[tex3]a9=a1+8R[/tex3]

Na P.G, a divisão do segundo termo pelo primeiro será igual à divisão do terceiro termo pelo segundo e essa divisão corresponde à razão da P.G

[tex3](a1+3R)/(a1+R)=(a1+8R)/(a1+3R)[/tex3]
Como [tex3]a1+3R=10[/tex3], simplesmente substitua:
[tex3]10/(a1+R)=(a1+8R)/10[/tex3]

Se [tex3]a1+3R=10[/tex3], então [tex3]a1=10-3R[/tex3]. Substitua denovo e o resultado será:
[tex3]10/(10-2R)=(10+5R)/10[/tex3]

A multiplicação dessa equação levará a uma equação do segundo grau. R=3 (essa é a razão da P.A e não da P.G)
A razão da P.G pode ser calculada por: [tex3]10/(a1+R),[/tex3] que resulta em 2,5