Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP - 2005) Trigonometria: Lei dos Senos

[Doug]

Sejam [tex3]A, B, C[/tex3] e [tex3]N[/tex3] quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura abaixo.

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a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos [tex3]A, B \text{ e } N.[/tex3]
b) Calcule o comprimento do segmento [tex3]NB.[/tex3]

Respostas:

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a) [tex3]1\text{ km}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{2}\text{ km}[/tex3]

[matbatrobin]

a) Aplicando a lei dos Senos no triângulo [tex3]ABN,[/tex3] vem

• [tex3]\frac{\overline{AB}}{\text{sen}30^\circ}=2R\Longrightarrow 2R=2\Longrightarrow R=1\text{ km}.[/tex3]

b) [tex3]A\widehat{B}C+A\widehat{N}C=270^\circ\Longrightarrow B\widehat{A}N=90^\circ-B\widehat{C}N.[/tex3]

No triângulo [tex3]ABN,[/tex3] pela lei dos Senos, temos:

• [tex3]\frac{\overline{NB}}{\text{sen}(90^\circ -B\widehat{C}N)}=2R\Longrightarrow \overline{NB}=2\cdot \cos B\widehat{C}N.[/tex3]

No triângulo [tex3]BCN,[/tex3] pela lei dos Senos, temos:

• [tex3]\frac{\overline{NB}}{\text{sen}B\widehat{C}N}=\frac{2}{\text{sen}90^\circ }= 2r\Longrightarrow
  \begin{cases} r=1\\\text{ e}\\\overline{NB}=2\cdot \text{sen} B\widehat{C}N. \end{cases}[/tex3]

Desse modo, como [tex3]B\widehat{C}N<90^\circ,[/tex3]

• [tex3]2\cdot \cos B\widehat{C}N=2\cdot \text{sen} B\widehat{C}N\Longrightarrow B\widehat{C}N=45^\circ.[/tex3]

Donde

• [tex3]\overline{NB}=\sqrt{2}\text{ km}.[/tex3]