Ensino Superior ⇒ Limites - Regra de l'hôpital

[rfpaguiar]

Olá pessoal.
"Empaquei" em alguns exercícios de cálculo, será que alguém poderia me ajudar?
São exercícios de um capítulo sobre regra de L'hôpital.


Lim (x [tex3]\rightarrow \infty [/tex3]) [cos(3\x)]^(x^3)
Resposta: 0

Lim (x [tex3]\rightarrow [/tex3] 0+) x.10^(1\x)
Resposta: [tex3]\infty [/tex3]

Lim (x [tex3]\rightarrow \infty [/tex3]) x^5 \ 3^x
Resposta: 0

[snooplammer]

rfpaguiar, questões diferentes devem ser criados tópicos diferentes

Irei fazer a primeira, as outras 2 crie outros 2 tópicos

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}\bigg[\cos\left(\frac{3}{x}\right)\bigg]^{x^3}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}e^{\ln\big(\cos\left(\frac{3}{x}\right)^{x^3}\big)}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}e^{x^3\ln\big(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\big)}[/tex3]

Calculando o limite do expoente

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} x^3\ln\big(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\big)[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln\big(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\big)}{\frac{1}{x^3}}[/tex3]

Por L'Hopital


[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{-\sen \left(\frac{3}{x}\right)\cdot\frac{-3}{x^2}}{\cos \left(\frac{3}{x}\right)}}{\frac{-3}{x^4}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\tg\left(\frac{3}{x}\right)\frac{1}{x^2}}{\frac{-1}{x^4}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} -\tg\left(\frac{3}{x}\right)x^2[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ -\tg\left(\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x^2}}[/tex3]

L'Hopital novamente

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} -\frac{3}{2}x\sec^2\left(\frac{3}{x}\right)=-\infty[/tex3]

Ora, [tex3]\lim_{x\rightarrow \infty} x^3\ln\big(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\big)=-\infty[/tex3]

Então

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}e^{x^3\ln\big(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\big)}=e^{-\infty}=0[/tex3]