Ensino Médio ⇒ Tronco de prisma quadrangular, IME/ITA nível 2

[lookez]

ABCD é um quadrado de lado 2 contido num plano α. AA' = 2, BB' = 1, CC' = 4, DD' = x são perpendiculares a α e A', B', C' e D' são coplanares.
Calcule:
a) x
b) o volume do tronco de prisma ABCD-A'B'C'D'
c) o ângulo entre os planos (ABCD) e (A'B'C'D')

Consegui fazer a letra a) e b), as quais o gabarito é 5 e 12 respectivamente. Mas não consigo achar uma maneira de fazer a letra c), como achar o ângulo entre planos? o gabarito desta seria:

Resposta

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[tex3]\arccos \left(\frac{\sqrt{14}}{7}\right)[/tex3]

[Xablauu]

Como x é igual a 5, podemos fazer um esquema como ficaria esse tronco de prisma no espaço. O bizu para resolver é achar um vetor normal ao plano (A'B'C'D') e fazer produto escalar para achar o ângulo entre o vetor normal do plano (ABCD) e do plano (A'B'C'D').

Para achar um vetor normal ao plano (A'B'C'D'), podemos fazer produto vetorial com os vetores A'B' e C'B'.

Tomando a direção AB como eixo X, AD como eixo y e, por conseguinte, AA' como eixo z, encontraremos o vetor resultante do produto vetorial entre A'B' e C'B' igual a (-2,6,-4).

Um vetor normal ao plano (ABCD) é, por exemplo, (0,0,1)

(0,0,1).(-2,6,-4)= -4 = 1 . raiz(4+36+16).cos(theta)

cos(theta)=-raiz(14)/7

Esse menos representa o fato do produto vetorial estar apenas na direção normal (o vetor pode estar para """"dentro""""" ou para """""fora""""") e, quando você faz o produto vetorial, pode ser que o ângulo entre os planos dê obtuso. Basta ser sensato para não errar isso.