Ensino Médio ⇒ Ponto Máximo e Mínimo Local Tópico resolvido

[Amandasousa]

Seja [tex3]f(x,y)=x^{2}(y^{4}-x^{2})[/tex3] e considere, para cada [tex3]v=(h, k),[/tex3] a função g_{[tex3]v[/tex3]}[tex3](t)=f(ht, kt)[/tex3](observe que g_{[tex3]v [/tex3]} fornece os valores de [tex3]f[/tex3] sobre a reta [tex3](x,y)=t(h,k).[/tex3] Verifique que [tex3]t=0[/tex3] é o ponto de máximo local de cada g_{[tex3]v [/tex3]} mas que (0,0) não é o ponto máximo local de [tex3]f[/tex3].

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Temos a seguinte função f( x , y ) = x²( y⁴ - x² ) e é definida uma nova função dada por g [tex3]_{v}[/tex3]( t ) = f( ht , kt ) , onde h e k são números ( componentes de um vetor ). Perceba que g [tex3]_{v}[/tex3] é uma função de uma variável, enquanto f é de duas variáveis.

Temos que verificar que t = 0 é o ponto de máximo local de g [tex3]_{v}[/tex3] , mas que ( 0 , 0 ) não é ponto de máximo local de f.

Veja que g [tex3]_{v}[/tex3] pode ser escrita como

g [tex3]_{v}[/tex3]( t ) = h²t²( k⁴t⁴ - h²t² ) = h²k⁴t⁶ - h⁴t⁴

Como se trata de uma função de uma única variável ( t ) , segue que

g'[tex3]_{v}[/tex3]( t ) = 6h²k⁴t⁵ - 4h⁴t³.


Vemos que t = 0 é ponto crítico de g [tex3]_{v}[/tex3] , pois g'[tex3]_{v}[/tex3]( 0 ) = 0.

Tomando a segunda derivada:

g''[tex3]_{v}[/tex3]( t ) = 30h²k⁴t⁴ - 12h⁴t² → g''[tex3]_{v}[/tex3]( 0 ) = 0.

Como a segunda derivada é nula, o teste da segunda derivada é inconclusivo para descobrir se t = 0 é o ponto de máximo ou não. Então vamos continuar derivando, fica;

g'''[tex3]_{v}[/tex3]( t ) = 120h²k⁴t³ - 48h⁴t → g'''[tex3]_{v}[/tex3]( 0 ) = 0.

g''''[tex3]_{v}[/tex3]( t ) = 360h²k⁴t² - 48h⁴ → g''''[tex3]_{v}[/tex3]( 0 ) = - 48h⁴ < 0.

Para polinômios, se as duas primeiras derivadas se anulam, a primeira derivada não nula determina a concavidade. Como ela é negativa, a concavidade é para baixo, de modo que t = 0 é o ponto de máximo local de g [tex3]_{v}[/tex3].


Por outro lado, retornando para f( x , y ) = x²y⁴ - x⁴ .

Derivando:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] = 2xy⁴ - 4x³ → [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]( 0 , 0 ) = 0.

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] = 4x²y³ → [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]( 0 , 0 ) = 0.

Vemos então que ( 0 , 0 ) é ponto crítico de f. Tomando as segundas derivadas, vem;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] = 2y⁴ - 12x² → [tex3]\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}[/tex3]( 0 , 0 ) = 0.

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] = 12x²y² → [tex3]\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}[/tex3]( 0 , 0 ) = 0.

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y\partial x}[/tex3] = 8xy³ → [tex3]\frac{\partial ^2 f}{\partial x\partial y}[/tex3]( 0 , 0 ) = [tex3]\frac{\partial ^2 f}{\partial y\partial x}[/tex3]( 0 , 0 ) = 0.

Como todas as derivadas se anulam, mesmo que você faça o teste do hessiano, teremos H = 0 . Vamos continuar derivando e ver o que ocorre , temos

[tex3]\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}[/tex3] = - 24x →
[tex3]\frac{\partial^4 f}{\partial x^4}[/tex3] = - 24 < 0.

[tex3]\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}[/tex3] = 24x²y → [tex3]\frac{\partial ^4 f}{\partial y^4}[/tex3] = 24x² →
[tex3]\frac{\partial ^4 f}{\partial y^4}[/tex3]( 0 , 0 ) = 0.


Perceba que a primeira derivada parcial a não se anular é a quarta : com relação a x ela é negativa, com relação a y ela é nula. Como se trata de um polinômio e as primeiras derivadas a não se anularem não concordam, logo ( 0 , 0 ) não pode ser ponto de máximo local de f. C.q.v.



Excelente estudo!