Ensino Superior ⇒ Equação com rotação com termos diferentes Tópico resolvido

[bsabrunosouza]

Oi, quando A = B, aplica-se um [tex3]\theta[/tex3] de [tex3]\sqrt2/2[/tex3]. Mas, quando A [tex3]\neq[/tex3] B é necessário aplicar [tex3]\frac{1}{2}*arctan\frac{C}{(A-B)}[/tex3]. Então, como aplicaria nessa questão?

[tex3]2x^2+y^2+\sqrt3xy = 4[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução( devemos usar o ângulo de rotação ) :

Temos a seguinte equação dada:

2x² + (√3)xy + y² - 4 = 0

Comparando com a equação abaixo:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0


Temos que:

A = 2 , B = √3 , C = 1 , D = 0 , E = 0 e F = - 4.

Como A ≠ C , então:

[tex3]tg(2\theta )=\frac{B}{A-C} \ (I)[/tex3] e qualquer [tex3]\theta [/tex3] que satisfaça ( I ) serve aos nossos propósitos.

Daí;

[tex3]tg(2\theta )=\frac{B}{A-C}[/tex3]

[tex3]tg(2\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2-1}[/tex3]

[tex3]tg(2\theta )=\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]2\theta =arc \ tg(\sqrt{3})[/tex3]

[tex3]\theta =\frac{1}{2}arc \ tg(\sqrt{3})[/tex3]

[tex3]\theta =\frac{1}{2}.\frac{π}{3}[/tex3]

[tex3]\theta =\frac{π}{6}[/tex3]



Por outro lado, temos que:

[tex3]cos (2\theta )=\frac{A-C}{A'-C'} \ ( II)[/tex3]

Os coeficientes A' e C' são raízes da equação do 2° grau de :

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
A-\lambda & \frac{B}{2}\\
\frac{B}{2} & C-\lambda \\
\end{array} \right]=0[/tex3]

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
2-\lambda & \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} & 1-\lambda \\
\end{array} \right]=0[/tex3]

[tex3](2-\lambda ).(1-\lambda )-\frac{3}{4}=0[/tex3]


Desenvolvendo , resulta:

4λ² - 12λ + 5 = 0

Logo, A' = 5/2 e C' = 1/2 ou A' = 1/2 e C' = 5/2.

Escolhendo, A' = 5/2 e C' = 1/2, vem;

[tex3]cos (2\theta )=\frac{2-1}{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]cos (2\theta )=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]2\theta=arc \ cos\left(\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\theta=\frac{1}{2}arc \ cos\left(\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\theta =\frac{1}{2}.\frac{π}{3}[/tex3]

[tex3]\theta =\frac{π}{6}[/tex3]

Ficará como exercício para você a escolha de A' = 1/2 e C' = 5/2

Como , por ( I ) e ( I I ) , o caso A' = 5/2 e C' = 1/2 corresponde à escolha de 2θ no 1° quadrante e A' = 1/2 e C' = 5/2 corresponde à escolha de 2θ no 3° quadrante. Supondo 0 ≤ 2θ ≤ 2π e lembrando que F' = F = - 4 ( rotações não afetam o termo independente ), temos duas possíveis soluções da seguinte forma:

A'u² + C'v² + F' = 0

[tex3]\frac{5u^2}{2}+\frac{v^2}{2}-4=0 \ , \ para \ 0≤2\theta ≤\frac{π}{2}\therefore 0≤\theta ≤\frac{π}{4}[/tex3]

Ou

5u² + v² = 8

Ou ainda;

[tex3]\frac{u^2}{\frac{8}{5}}+\frac{v^2}{8}=1[/tex3]

Portanto, trata-se de uma elipse, onde u indica a abscissa e v a ordenada no novo sistema.

Obs.1 O gráfico no novo sistema ficará como exercício para você


Obs.2 O objetivo da rotação feita aqui, é justamente transformar a equação dada numa equação do tipo : A'u² + C'v² + F' = 0.


Detalhes adicionais:

Escolhendo A' = 1/2 e C' = 5/2.

[tex3]\frac{u^2}{2}+\frac{5v^2}{2}-4=0 \ , \ para \ π≤2\theta ≤\frac{3π}{2}\therefore \frac{π}{2}≤\theta ≤\frac{3π}{4}[/tex3]

Ou

u² + 5v² = 8

Ou ainda;

[tex3]\frac{u^2}{8}+\frac{v^2}{\frac{8}{5}}=1[/tex3]




Bons estudos!