Ensino Superior ⇒ Conjunto Aberto e Conjunto Fechado Tópico resolvido

[Corretor]

Como eu provo que o intervalo (a,b) com a < b é um Conjunto Aberto e que o intervalo [a,b] é um conjunto fechado?

[deOliveira]

Definição: [tex3]X\subset\mathbb R[/tex3] é dito um conjunto aberto quanto para todo [tex3]x\in X[/tex3] existe [tex3]\varepsilon >0[/tex3] tal que
[tex3](x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset X[/tex3].

Seja [tex3]c\in(a,b)[/tex3] dado arbitrariamente.
Seja [tex3]\varepsilon=\min\left\{\frac{c-a}2,\frac{b-c}2\right\}[/tex3].
Dessa forma temos que [tex3](c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset(a,b)[/tex3].
Assim, existe [tex3]\varepsilon>0[/tex3] tal que [tex3](c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset(a,b)[/tex3]. Portanto [tex3](a,b)[/tex3] é aberto.

Uma possível forma de definir um conjunto fechado é o seguinte:
Definição: [tex3]X\subset\mathbb R[/tex3] é dito um conjunto fechado quando seu complementar [tex3]A=\mathbb R-X[/tex3] é aberto.

[tex3]A=\mathbb R-[a,b]=(-\infty,a)\cup(b,+\infty)[/tex3]
Quero provar então que [tex3]A[/tex3] é aberto, ou seja, [tex3]\forall c\in A[/tex3] existe [tex3]\varepsilon>0[/tex3] tal que [tex3](c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset A[/tex3]
Seja [tex3]c\in A[/tex3] dado arbitrariamente.
[tex3]c\in(-\infty,a)[/tex3] ou [tex3]c\in(b,+\infty)[/tex3].
Se [tex3]c\in(-\infty,a)[/tex3] sendo [tex3]\varepsilon=\frac{a-c}2[/tex3] temos que [tex3](c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset(-\infty,a)\implies(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset A[/tex3]
Se [tex3]c\in(b,+\infty)[/tex3] sendo [tex3]\varepsilon=\frac{c-b}2[/tex3] temos que [tex3](c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset(b,+\infty)\implies(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset A[/tex3]
Dessa forma temos que [tex3]A[/tex3] é aberto e portanto [tex3][a,b][/tex3] é fechado.

Espero ter ajudado .