Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ - 2005) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[estrela]

A reta [tex3]y = x + k,[/tex3] [tex3]k[/tex3] fixo, intersecta a circunferência [tex3]x^2 + y^2 = 1[/tex3] em dois pontos distintos, [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2,[/tex3] como mostra a figura a seguir.

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a) Determine os possíveis valores de [tex3]k.[/tex3]
b) Determine o comprimento do segmento [tex3]P_1P_2[/tex3] em função de [tex3]k.[/tex3]

[matbatrobin]

a)tem um limite senão a reta t irá cortar a circunfêrencia em apenas um ou nenhum ponto.

[tex3]m_t=1 \Rightarrow \alpha =45^{\circ}[/tex3], em que [tex3]\alpha[/tex3] é o ângulo entre a reta [tex3]t[/tex3] e o eixo [tex3]x[/tex3]. Logo se um cateto desse triângulo isósceles é 1(o raio da esfera) a hipotenusa vale [tex3]\sqrt{2}[/tex3] para a reta só tangenciar e um ponto da circunferência, então para a reta ser secante [tex3]k< \sqrt{2}[/tex3] ou [tex3]k>-\sqrt{2}[/tex3] se não a reta poderia passar pelo outro lado também.

b) Como [tex3]\alpha=45^{\circ}[/tex3] a reta corta o eixo x em [tex3]Q(-k;0)[/tex3] de forma que [tex3]OQ=|k|[/tex3], sendo [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]QP_2[/tex3] temos que [tex3]M=\frac{|k|}{\sqrt{2}}[/tex3] e [tex3]OP_2=1[/tex3](raio da esfera) por pitágoras que [tex3]\overline{MP_2}=\sqrt{1-\frac{k^2}{2}}[/tex3], logo [tex3]\overline{P_1P_2}=2\overline{MP_2}\Rightarrow \overline{P_1P_2}=\sqrt{2(2-k^2)}[/tex3]