Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1997) Equações Polinomiais e Progressões Tópico resolvido

[barbarahass]

[tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio cujas raízes formam uma progressão geométrica de razão [tex3]2,[/tex3] e primeiro termo [tex3]2.[/tex3] O coeficiente do termo de mais alto grau de [tex3]P(x)[/tex3] é [tex3]1[/tex3] e o termo independente é igual a [tex3]2^{21}.[/tex3] O grau do polinômio é:

a) [tex3]4[/tex3]
b) [tex3]5[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) [tex3]7[/tex3]
e) [tex3]8[/tex3]

Resposta:

---

c

[jgpret]

Seja [tex3]P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+2^{21}.[/tex3]

Sejam [tex3]2, 2^2,\ldots,2^n[/tex3] as raízes de [tex3]P(x).[/tex3]

Pelas relações de Girard, temos que

[tex3]\begin{array}{rl} 2\cdot 2^2\cdot \ldots\cdot 2^n=(-1)^n\cdot 2^{21}& \Longrightarrow 2^{1+2+\ldots+n}=(-1)^n\cdot 2^{21}\\
& \Longrightarrow 2^{\large\frac{(1+n)\cdot n}{2}}=(-1)^n\cdot 2^{21}\\
& \Longrightarrow (n \text{ é par} ) \wedge (n^2+n-42=0) \\
& \Longrightarrow n=6.
\end{array}[/tex3]

[FelipeMP]

jgpret, como você concluiu que n é par?

[cajuADMIN]

Olá FelipeMP,
Nessa passagem:

[tex3]2^{\frac{(1+n)\cdot n}{2}}=(-1)^n\cdot 2^{21}[/tex3]

Temos, no lado esquerdo, um número positivo. Do lado direito, temos [tex3](-1)^n[/tex3]. Para termos positivo dos dois lados, temos que ter [tex3]n[/tex3] par. De outra forma, [tex3](-1)^n[/tex3] seria negativo.

Grande abraço,
Prof. Caju