Ensino Superior ⇒ Equação diferencial (Calculo IV) Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x). Resolvendo a equação
[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = 2+2y+x+xy, obtém-se uma função y(x) que passa pelo ponto y(1) = 0.
Pode-se afirmar que o valor mais próximo de y(2), é:

a) 16
b) 24
c) 32
d) 4
e) 18

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = 2 + 2y + x + xy

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = 2.(1 + y) + x.(1 + y)

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = ( 1 + y ).( 2 + x )

Logo, trata-se de uma EDO de variáveis separáveis, então;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+y}dy=\int\limits_{}^{}(x+2)dx[/tex3]

[tex3]ln(y+1)=\frac{x^2}{2}+2x+k[/tex3]

[tex3]y+1=e^{\frac{x^2}{2}+2x+k}[/tex3]

[tex3]y+1=e^{\frac{x^2}{2}+2x}.e^k[/tex3]

[tex3]y+1=e^{\frac{x^2}{2}+2x}.c_{1}[/tex3]

[tex3]y=c_{1}e^{\frac{x^2}{2}+2x}-1[/tex3]

Ou

[tex3]y(x)=c_{1}e^{\frac{x^2}{2}+2x}-1[/tex3]

Assim,

[tex3]y(1)=c_{1}e^{\frac{1^2}{2}+2.1}-1[/tex3]

[tex3]0=c_{1}e^{\frac{1}{2}+2}-1[/tex3]

[tex3]1=c_{1}e^{\frac{5}{2}}[/tex3]

[tex3]1=c_{1}e^{\frac{5}{2}}[/tex3]

[tex3]c_{1}=\frac{1}{e^\frac{5}{2}}[/tex3]

Então,

[tex3]y(x)=\frac{1}{e^\frac{5}{2}}e^{\frac{x^2}{2}+2x}-1[/tex3]

Logo,

[tex3]y(2)=\frac{1}{e^\frac{5}{2}}e^{\frac{2^2}{2}+2.2}-1[/tex3]

[tex3]y(2)=\frac{e^{2+4}}{e^\frac{5}{2}}-1[/tex3]

[tex3]y(2)=\frac{e^{6}}{e^\frac{5}{2}}-1[/tex3]

[tex3]y(2)=e^\frac{7}{2}-1[/tex3]

y( 2 ) = 33,11 - 1

y( 2 ) = 32,11

Portanto,

y( 2 ) ≈ 32 , alternativa c).



Bons estudos!