IME / ITA ⇒ ITA Equação Função Trigonométrica Inversa

[Auto Excluído (ID:20100)]

A equação em x, [tex3]arctg(e^{x}+2) - arccotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1 } )=\frac{\pi}{4}, x\in \mathbb{R}[/tex3]\{0}

a)admite infinitas soiluções, todas positivas

b)admite uma única solução, e esta é positiva

c) admite três soluções que se encontram no intervalo ][tex3]\frac{-5}{2},\frac{3}{2}[/tex3][

d) admite apenas soluções negativas

e) não admite solução

Resposta

---

B

[snooplammer]

[tex3]u-v=\frac{\pi}{4}[/tex3]
[tex3]\tg(u-v)=\tg \frac{\pi}{4}[/tex3]

O resto é conta

[Matheusrpb]

Boa noite !

[tex3]\arctg ( e^{x} + 2 )\space \therefore \space tg \theta = e^{x} + 2 [/tex3]

[tex3]\arccotg ( \frac{e^x}{e^{2x} - 1}) \space \therefore \space \tg \beta = ( \frac{e^{2x} - 1}{e^x}) [/tex3]

[tex3]\theta - \beta = 45° \space \therefore \space \tg(\theta - \beta ) = tg(45°) \space \therefore \space \tg(\theta - \beta) = 1[/tex3]

[tex3]\tg(\theta - \beta) = \frac{\tg \theta - \tg \beta}{1 + \tg \theta \cdot \tg \beta} [/tex3]
[tex3]\tg(45°) = \frac{e^x + 2 - ( \frac{e^{2x} - 1}{e^x})}{1 + \frac {(e^x + 2)\cdot (e^{2x} -1)}{e^x}}[/tex3]

Fazendo essa conta, você vai chegar na seguinte expressão:

[tex3]e^{3x} + 2e^{2x} - 2e - 3 = 0 [/tex3]

Fazendo uma substituição de variável:

[tex3]k = e^x [/tex3]

[tex3]k^3 + 2k^2 - 2k - 3 = 0 [/tex3]

Como ( -1 ) é raíz, podemos diminuir o grau do polinômio por Briot-Ruffini e chegaremos na seguinte equação:

[tex3]k^2 + k - 3 = 0 \space \therefore \space k = \frac {-1 \pm \sqrt{13}}{2} [/tex3]

[tex3]I. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = -1 \space \therefore \space x = \ln(-1)[/tex3]
[tex3]II. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \space \therefore \space x = \ln(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2})[/tex3]
[tex3]III. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \space \therefore \space x = \ln(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) [/tex3]

[tex3]\log_{b}{a} \rightarrow a >0 [/tex3]

Dessa forma, a única solução possível será a [tex3]\ III [/tex3] :

[tex3]x = \ln(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) \rightarrow \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} > 1 \space \therefore \space x > 0 [/tex3]

[Matheusrpb]

Boa noite !

[tex3]\arctg ( e^{x} + 2 )\space \therefore \space tg \theta = e^{x} + 2 [/tex3]

[tex3]\arccotg ( \frac{e^x}{e^{2x} - 1}) \space \therefore \space \tg \beta = ( \frac{e^{2x} - 1}{e^x}) [/tex3]

[tex3]\theta - \beta = 45° \space \therefore \space \tg(\theta - \beta ) = tg(45°) \space \therefore \space \tg(\theta - \beta) = 1[/tex3]

[tex3]\tg(\theta - \beta) = \frac{\tg \theta - \tg \beta}{1 + \tg \theta \cdot \tg \beta} [/tex3]
[tex3]\tg(45°) = \frac{e^x + 2 - ( \frac{e^{2x} - 1}{e^x})}{1 + \frac {(e^x + 2)\cdot (e^{2x} -1)}{e^x}}[/tex3]

Fazendo essa conta, você vai chegar na seguinte expressão:

[tex3]e^{3x} + 2e^{2x} - 2e^x - 3 = 0 [/tex3]

Fazendo uma substituição de variável:

[tex3]k = e^x [/tex3]

[tex3]k^3 + 2k^2 - 2k - 3 = 0 [/tex3]

Como ( -1 ) é raíz, podemos diminuir o grau do polinômio por Briot-Ruffini e chegaremos na seguinte equação:

[tex3]k^2 + k - 3 = 0 \space \therefore \space k = \frac {-1 \pm \sqrt{13}}{2} [/tex3]

[tex3]I. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = -1 \space \therefore \space x = \ln(-1)[/tex3]
[tex3]II. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \space \therefore \space x = \ln(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2})[/tex3]
[tex3]III. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \space \therefore \space x = \ln(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) [/tex3]

[tex3]\log_{b}{a} \rightarrow a >0 [/tex3]

Dessa forma, a única solução possível será a [tex3]\ III [/tex3] :

[tex3]x = \ln(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) \rightarrow \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} > 1 \space \therefore \space x > 0 [/tex3]

[Auto Excluído (ID:20100)]

Vlw gnt! N tinha pensado nisso