Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Progressão Geométrica e Logaritmos

[ThalesWeb]

Os números [tex3]x, \sqrt {x}, \log_2 10x[/tex3] são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calcule:

a) o [tex3]1^\circ[/tex3] termo [tex3]x;[/tex3]
b) o [tex3]5^\circ[/tex3] termo.

Agredeço a quem puder ajudar.

[Karl Weierstrass]

a) Observe que

i) se [tex3]\sqrt{x}[/tex3] é um número real, devemos ter [tex3]x\geq 0.[/tex3]
ii) pela definição de logaritmo, [tex3]10x>0\Longrightarrow x>0.[/tex3]

Logo, [tex3]x>0.[/tex3]

Em toda PG, o quadrado de cada termo é o produto do seu antecessor pelo seu sucessor (exceto o [tex3]1^\circ[/tex3] e o último):

• [tex3]\begin{array}{rl} (\sqrt{x})^2=x\cdot \log_210x&\Longrightarrow x- x\cdot \log_210x=0\\
  &\Longrightarrow x\cdot(1-\log_210x)=0 \\
  &\Longrightarrow x=0 \text{ ou } \log_210x=1. \\
  \end{array}[/tex3]

Como [tex3]x=0[/tex3] não convém,

• [tex3]\log_210x=1\Longrightarrow 2^1=10x\Longrightarrow x=\frac{1}{5}.[/tex3]

b) Seja [tex3]q[/tex3] a razão da PG.

• [tex3]q=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}= \frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{5}[/tex3]

Queremos calcular [tex3]a_5=a_1\cdot q^4.[/tex3]

• [tex3]a_5=\frac{1}{5}\cdot (\sqrt{5})^4=\frac{1}{5}\cdot \sqrt{5^4}=\frac{1}{5}\cdot 5^{\frac{4}{2}}=\frac{1}{5}\cdot 5^2=5.[/tex3]