IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1979) Geometria Plana: Área do Círculo Tópico resolvido

[xjapzamozox]

Dois círculos se tangenciam externamente e ambos tangenciam os lados de um ângulo de [tex3]60^\circ[/tex3] que os contém. A razão da área do menor círculo para a área do maior é:

a) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{16}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

Resposta:

---

e

[agp16]

• 

  AG14.png (14.87 KiB) Exibido 1653 vezes

• [tex3]\triangle APO':\text{ } \text{sen}30^\circ =\frac{\overline{PO'}}{\overline{AO'}}\Longrightarrow \overline{AO'}=2r.[/tex3]

• [tex3]\overline{AB}=\overline{AO'}-\overline{BO'}=2r-r=r.[/tex3]

• [tex3]\triangle AQO:\text{ } \text{sen}30^\circ =\frac{\overline{QO}}{\overline{AO}}\Longrightarrow \overline{AO}=2R.[/tex3]

• [tex3]\overline{AB}=\overline{AO}-\overline{BO}=2R-(2r+R)=R-2r.[/tex3]

Logo,

• [tex3]R-2r=r\Longrightarrow R=3r.[/tex3]

Portanto, a razão pedida é

• [tex3]\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\left(\frac{r}{R}\right)^2=\left(\frac{r}{3r}\right)^2=\frac{1}{9}.[/tex3]