Concursos Públicos ⇒ Marinha do Brasil - Oficial 2019 - Engenharia - Análise Combinatória Tópico resolvido

[julianonara]

Considere uma moeda viciada tal que, ao ser lançada, a probabilidade de sair cara é menor que [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e, ao ser lançada duas vezes consecutivas, a probabilidade de sair a mesma quantidade de caras e de coroas é [tex3]\frac{3}{8}[/tex3] . Se esta moeda for lançada três vezes consecutivas, a probabilidade de saírem três coroas é:

(A) [tex3]\frac{3}{8}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{25}{36}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{1}{64}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{8}{27}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{27}{64}[/tex3]

Resposta

---

E

[Ittalo25MOD]

Para chegar na resposta, o enunciado deve ser [tex3]\frac{3}{16}[/tex3]. Veja:

Sendo [tex3]ca [/tex3] e [tex3]co [/tex3] as probabilidades de sair cara e coroa, respectivamente.

Do enunciado temos:

[tex3]\begin{cases}
ca+co=1 \\
ca< \frac{2}{3} \\
ca \cdot co =\frac{3}{16}
\end{cases}[/tex3]

Substituindo a primeira na terceira:

[tex3]ca \cdot co = \frac{3}{16} [/tex3]
[tex3]ca \cdot (1-ca) = \frac{3}{16} [/tex3]
[tex3]ca = \frac{1}{4}[/tex3]

Então o enunciado pede: [tex3]co^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \boxed{\frac{27}{64}} [/tex3]

[csmarceloMOD]

[tex3]x[/tex3] é a probabilidade de sair cara em um lançamento.
[tex3]y[/tex3] é a probabilidade de sair coroa em um lançamento.

ao ser lançada duas vezes consecutivas, a probabilidade de sair a mesma quantidade de caras e de coroas é [tex3]\frac{3}{8}[/tex3].

Sair a mesma quantidade de caras e de coroas em dois lançamentos é o mesmo que sair cara em um lançamento e coroa em outro e essa probabilidade é igual a [tex3]xy+yx=2xy[/tex3].

Por outro lado, [tex3]1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}[/tex3] corresponderá, consequentemente, à probabilidade de sair duas caras ou duas coroas em dois lançamentos. Essa probabilidade é igual a [tex3]x^2+y^2[/tex3].

Temos, então, o seguinte sistema:

[tex3]\large\begin{cases}2xy=\frac{3}{8}\\x^2+y^2=\frac{5}{8}\\x<\frac{2}{3}\end{cases}[/tex3]

Daí, concluímos que

[tex3]x=\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]y=\frac{3}{4}[/tex3]

Logo, se a moeda for lançada três vezes consecutivas, a probabilidade de saírem três coroas é [tex3]\(\frac{3}{4}\)^3=\frac{27}{64}[/tex3].

[csmarceloMOD]

Oi, Ittalo25. Não havia visto que você já tinha respondido. É preciso considerar as possibilidades de cada uma das duas moedas.

[csmarceloMOD]

Mas é bem mais óbvio e simples fazer [tex3]x+y=1[/tex3] do que [tex3]x^2+y^2=\frac{5}{8}[/tex3].