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O fenômeno das marés ocorre devido à diferença da atração gravitacional com a Lua em diferentes pontos da Terra. Uma consequência direta desse fenômeno é a dissipação da energia mecânica do sistema Terra-Lua resultando no aumento da distância da órbita da Lua em torno do nosso planeta. Considere a órbita circular e que esse aumento seja de 4,0 cm ao ano. Que percentual da energia mecânica do sistema Terra-Lua foi dissipada, ao longo de 1.000.000.000 anos, quando a distância inicial entre os centros da Terra e da Lua era de 400.000km?

a) 0,9%
b) 1,8%
c) 5,4%
d) 9,1%
e) 18,%

Boa Noite !

[tex3]F_G = \frac{G Mm}{d^2}[/tex3]

[tex3]w = F \cdot d[/tex3]

[tex3]E_G = \frac{GMm}{d}[/tex3]

[tex3]E_{M_0} = E_{M_f} + w[/tex3]

Sendo [tex3]w[/tex3] o trabalho de uma força externa, que é igual à energia dissipada pelo sistema.

[tex3]\frac{GMm}{d} = \frac{GMm}{d'} + w [/tex3]

[tex3]w = \frac{GMm}{d} - \frac{GMm}{d'} [/tex3]

[tex3]w = \frac{GMm(d' - d)}{d d'}[/tex3]

Sendo d a distância inicial e d' a distância final, temos:

[tex3]d = 40 \cdot 10^{7} \space m[/tex3]

[tex3]d' = 40 \cdot 10^{7} + 4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{9} [/tex3]

[tex3]d' = 44 \cdot 10^{7} \space m[/tex3]

Dessa forma, o percentual de energia dissipada é:

[tex3]x = \frac{\frac{GMm(d' - d)}{d'd}}{\frac{GMm}{d}}[/tex3]

[tex3]x = \frac{d' - d}{d'}[/tex3]

[tex3]x = \frac{ 44 \cdot 10^7 - 40 \cdot 10^7}{44 \cdot 10^7} [/tex3]

[tex3]x = \frac{4}{44}[/tex3]

[tex3]x= 0,09090[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x = 9,09 \space\% }}[/tex3]