Pré-Vestibular ⇒ SIS(2018)-Ponto e Reta

[Polímero17]

38-Considere, em um plano cartesiano, os pontos A(2,0), D(0, 4) e o quadrado ABCD, conforme a figura.
A equação da reta suporte do lado BC é
(A) x + y – 14 = 0
(B) 2x + y – 14 = 0
(C) x + y – 10 = 0
(D) 2x + y – 10 = 0
(E) x + y – 6 = 0

Resposta

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Gabarito b

[LostWalker]

Eu não sei se há um modo mais rápido, mas eu fiz assim.

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Vamos definir que o Ponto onde a Reta de [tex3]\overline{AB}[/tex3] cruza o Eixo das Ordenadas é [tex3]E[/tex3] e o Ponto onde a Reta de [tex3]\overline{BC}[/tex3] cruza o Eixo das Abcissas é [tex3]F[/tex3]

O ângulo entre as duas retas pode ser medido com a fórmula:

[tex3]\tg\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}[/tex3]

Se a diferença é de [tex3]90^\circ[/tex3], e [tex3]\tg90^\circ=\mbox{Indeterminado}[/tex3], para a conta dar indeterminado o Denominado precisa zerar, logo:

[tex3]1+m_1m_2=0[/tex3]
[tex3]1-2m_2=0[/tex3]

[tex3]\color{PineGreen}\boxed{m_2=\frac12}[/tex3]

Essa é a Inclinação das Retas [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]

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Para encontrar o Ponto [tex3]E\,(0,y_{_E})[/tex3], vamos usar o [tex3]m[/tex3] e o Ponto [tex3]A[/tex3]

[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]

[tex3]\frac12=\frac{y_{_E}-0}{0-2}[/tex3]

[tex3]\color{BurntOrange}\boxed{y_{_E}=-1}[/tex3]

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Pela semelhança de Triângulos, [tex3]\Delta ADE[/tex3] e [tex3]\Delta ABF[/tex3] são iguais, logo, [tex3]\overline{DE}[/tex3] e [tex3]\overline{AF}[/tex3] são iguais. Como a distância de [tex3]\overline{DE}=5=\overline{AF}[/tex3], e com base as Coordenadas de [tex3]A[/tex3], sabemos agora que [tex3]F\,(7,0)[/tex3]

Sabendo o Ponto [tex3]F[/tex3] e o [tex3]m[/tex3], podemos encontrar a Equação da Reta:

[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]

[tex3]-2=\frac{y-0}{x-7}[/tex3]

[tex3]-2x+14=y[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2x+y-14=0}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\mbox{Alternativa B}}[/tex3]

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Essa é a forma que eu faria, mas comecei meus estudo em Geometria Analítica a pouco tempo, então talvez haja uma forma mais rápida e eficiente

[csmarceloMOD]

Como exatamente você concluiu que [tex3]m=\frac{1}{2}[/tex3], quero dizer, como [tex3]1-m_1m_2[/tex3] virou [tex3]1-2m[/tex3]?

[LostWalker]

csmarcelo, eu notei um erro na minha conta por uma questão de tamanho...

Acontece que dependo do tamanho dos ângulos, usa-se

[tex3]\tg\theta=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}[/tex3] ou [tex3]\tg\theta=\frac{m_2-m_1}{1-m_1m_2}[/tex3]

Quando eu estava repassando a resposta, conferi uma anotação minha de outro exercício e misturei, a formula que devia ser usada era a positiva. Mas eu meio que embolei já que usei duas folhas sobre esse assunto de anotações que já tinha feito

Há também a simplificação de usar como módulo, por curiosidade [tex3]\tg\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|[/tex3]

Em fim, corrigindo isso, e sabendo que o coeficiente da reta [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]-2[/tex3]. Termina na ideia de que

[tex3]1+m_1m_2=0[/tex3]
[tex3]1-2m_2[/tex3]

Ou seja, quando eu tava passando, mudei o [tex3]-2[/tex3] para [tex3]2[/tex3] e corrigi usando a fórmula Negativa, mas não avisei na conta acima. E também, sabia por medida que [tex3]m_1[/tex3] e [tex3]m_2[/tex3] teriam sinais contrários (Um subindo e outro Descendo). Então, imagino que vc estava chegando no [tex3]1-(-2).m=0[/tex3]. Desculpe o transtorno, vou mudar o Sinal acima

[csmarceloMOD]

Ahhh sim. De fato, a mudança me confundiu.

Com relação à retas perpendiculares, tem um atalho que podemos tomar. Provavelmente você já o conhece e apenas quis mostrar pelo método genérico, que vale para qualquer angulação. Na verdade, é simplesmente uma consequência da fórmula que você usou: quando duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso da outra.

Além disso, percebi uma outra coisa: no denominador, deveria ser [tex3]1+m_1m_2[/tex3], não?

[csmarceloMOD]

Além disso, percebi uma outra coisa: no denominador, deveria ser [tex3]1+m_1m_2[/tex3], não?

Esquece, você já corrigiu.

[LostWalker]

csmarcelo, mania minha de generalizar para abordar mais assuntos... -_-

[csmarceloMOD]

Haha nada contra! Na verdade, se for para conhecer apenas um dos métodos, o genérico, obviamente, sempre será o melhor.

[Polímero17]

LostWalker não entendi seu raciocínio. Vc calculou a tg das retas DA e BA ou de AB e BC?

Vamos definir que o Ponto onde a Reta de AB¯¯¯¯¯¯¯¯AB¯ cruza o Eixo das Ordenadas é EE e o Ponto onde a Reta de BC¯¯¯¯¯¯¯¯BC¯ cruza o Eixo das Abcissas é FF

O coeficiente m1 e m2 é de qual reta?
Desde já agradeço pela ajuda

[LostWalker]

Polímero17

[tex3]m_1[/tex3] se refere a reta [tex3]\overline{AD}[/tex3]
[tex3]m_2[/tex3] se refere a reta [tex3]\overline{AB}[/tex3]