Tem a parte mais básica que é como chegar no Raio da esfera Inscrita, caso você tenha decorado é
[tex3]r_i=\frac{a\sqrt6}{6}[/tex3] e nem eu tinha decorado isso. Mas para tentar visualizar melhor a imagem, vamos fazer uma baguncinha:
- Icosaedro.png (164.18 KiB) Exibido 3072 vezes
É, vou deixar as imagens grandes para melhor visualização
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No Triângulo
[tex3]\Delta{ABC}[/tex3],
[tex3]\overline{AD}[/tex3] é Altura (
[tex3]h[/tex3]), que pode ser calculada como
[tex3]h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2[/tex3]
[tex3]h=\frac{a\sqrt3}2[/tex3]
Considerando o Triângulo
[tex3]\Delta{ADO}[/tex3],
[tex3]\overline{AO}[/tex3] é Altura
[tex3]H[/tex3] e sabendo que
[tex3]\overline{DO}=\frac a2[/tex3]
[tex3]H^2+\left(\frac a2\right)^2=h^2[/tex3]
[tex3]H=\frac{a\sqrt2}{2}[/tex3]
Sendo
[tex3]\overline{EO}=r_i[/tex3] e também tendo o ângulo reto, podemos usar a propriedade que:
[tex3]\overline{DO}\cdot\overline{AO}=\overline{AD}\cdot\overline{EO}[/tex3]
[tex3]\frac a2\cdot \frac{a\sqrt2}2=\frac{a\sqrt3}2\cdot r_i[/tex3]
[tex3]r_i=\frac{\sqrt6} 6[/tex3]
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Nova Ilustração:
- Icosaedro 2.png (163.26 KiB) Exibido 3072 vezes
Nosso objetivo atual é achar o Ponto G, mais precisamente,
[tex3]\overline{BG}[/tex3]
Sabemos que
[tex3]\overline{BO}-\overline{GO}=\overline{BG}[/tex3], sendo que,
[tex3]\overline{BO}[/tex3] metade da diagonal no Quadrado (faz um pitágoras e encontra
[tex3]a\sqrt2[/tex3], esse seria a Diagonal, e claro, queremos metade disso), e
[tex3]\overline{GO}=r_i[/tex3]
[tex3]\overline{BO}-\overline{GO}=\overline{BG}[/tex3]
[tex3]\frac{a\sqrt2}{2}-\frac{a\sqrt6}{6}=\overline{BG}[/tex3]
[tex3]\overline{BG}=\frac {a(3\sqrt2-\sqrt6)}{6}[/tex3]
Vamos jogar esse
[tex3]3[/tex3] para dentro da raiz e depois usar evidência
[tex3]\overline{BG}=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}[/tex3]
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Agora, vamos esquecer essas contas um poucos, vamos criar uma nova medida chamada
[tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3]
- Icosaedro 3.png (163.5 KiB) Exibido 3072 vezes
"Só pela imagem, já da pra ver que agora sujo legal..."
O nosso
[tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3] se refere a medida de
[tex3]\overline{BG}[/tex3]. Porém, se você observar que isso se refere a um corte Vertical, ele mantém linhas paralelas ao Octaedro, na verdade, esse corte forma metade de Octaedro. Sendo assim, vamos manter igualdades
[tex3]\overline{BG}=\overline{BI}=\overline{BJ}=\overline{BK}=\overline{BL}=\frac {b\sqrt2}2[/tex3]
Vamos pensar na mesma ideia de quando achamos o
[tex3]H[/tex3], só que de trás-pra-frente, sendo
[tex3]M[/tex3] o Ponto Médio de
[tex3]\overline{JK}[/tex3]
Sendo o Triângulo
[tex3]\Delta{GJK}[/tex3] Retângulo, usando Pitágoras temos
[tex3]\overline{GJ}^2+\overline{GK}^2=\overline{JK}^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac {b\sqrt2}2\right)^2+\left(\frac {b\sqrt2}2\right)^2=\overline{JK}^2[/tex3]
[tex3]\overline{JK}=b[/tex3]
Mas vamos lembrar que isso se refere a metade de um Octaedro, logo,
[tex3]\overline{JK}=\overline{IJ}=\overline{KL}=\overline{IL}=\overline{BI}=\overline{BJ}=\overline{BK}=\overline{BL}=b[/tex3]
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Vamos pensar agora em dois Pontos Médios, o Ponto
[tex3]M[/tex3], ponto médio de
[tex3]\overline{JK}[/tex3] e
[tex3]N[/tex3], ponto médio de
[tex3]\overline{IL}[/tex3], já vamos adicionar o Círculo dentro do Triângulo
[tex3]\Delta{BMN}[/tex3]
- Icosaedro 4.png (164.38 KiB) Exibido 3072 vezes
Sabemos que
[tex3]A=pr[/tex3], e podemos calcular
[tex3]A[/tex3] usando
[tex3]\frac{\overline{MN}\cdot\overline{BG}}{2}[/tex3].
Para achar
[tex3]\overline{MN}[/tex3], vamos encontra, vamos entender que ele é igual a
[tex3]\overline{IJ}[/tex3] e
[tex3]\overline{LK}[/tex3]
Com isso, temos que
[tex3]A[/tex3]:
[tex3]A=\frac{\overline{MN}\cdot\overline{BG}}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{b\cdot\frac{b\sqrt2}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{b^2\sqrt2}{4}[/tex3]
Agora, o semi-perimetro de
[tex3]\Delta{BMN}[/tex3]. Sabemos também que
[tex3]\overline{BM}=\overline{BN}[/tex3] e para
[tex3]\overline{BM}[/tex3]
[tex3]\overline{BG}^2+\overline{GM}^2=\overline{BM}^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac{b\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\overline{BM}^2[/tex3]
[tex3]\overline{BM}=\frac{b\sqrt3}2[/tex3]
E com isso o semi-perímetro é:
[tex3]p=\frac{\overline{BM}+\overline{BN}+\overline{MN}}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{\frac{b\sqrt3}2+\frac{b\sqrt3}2+b}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{b(\sqrt3+1)}{2}[/tex3]
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Sabendo que esse mesmo Triângulo
[tex3]\Delta{BMN}[/tex3] também ocorre na Horizontal, podemos afirmar que o raio do Circulo é igual ao Raio de uma esfera que se encaixa no mesmo lugar, e para esse
[tex3]r[/tex3]:
[tex3]A=pr[/tex3]
[tex3]r=\frac Ap[/tex3]
[tex3]r=\frac{\frac{b^2\sqrt2}{4}}{\frac{b(\sqrt3+1)}{2}}[/tex3]
[tex3]r=\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}[/tex3]
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Vamos agora pra uma básica regra de
[tex3]3[/tex3], como eu havia definido,
[tex3]\overline{BG}=\frac{b\sqrt2}2[/tex3] porém já tínhamos definido que
[tex3]\overline{BG}=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}[/tex3] e então, encontramos o raio para
[tex3]a[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{b\sqrt2}2}{\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}}=\frac{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}r[/tex3]
[tex3]r=\frac{{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}\cdot\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}}{\frac{b\sqrt2}2}[/tex3]
[tex3]r=\frac{{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{b\sqrt2}{2}}}\cdot\frac{(\sqrt3-1)}{2}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{b\sqrt2}{2}}}[/tex3]
[tex3]r=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)^2}{12}[/tex3]
[tex3]r=\frac {a\sqrt6(3-2\sqrt3+1)}{12}[/tex3]
[tex3]r=\frac {a\sqrt6(4-2\sqrt3)}{12}[/tex3]
[tex3]r=\frac {2a\sqrt6(2-\sqrt3)}{12}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{r=\frac {a\sqrt6(2-\sqrt3)}{6}}[/tex3]
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Bom, foi o que eu encontrei, espero que o Gabarito esteja errado mesmo XD
*Caso tenha percebido que o nome das imagens é Icosaedro, ignora, eu fiquei com preguiça de arrumar
se é ligado a militares, pode postar aqui mesmo