Ensino Superior ⇒ Séries de Potência Tópico resolvido

[PUDIMMARCOS]

Seja [tex3]\mu[/tex3] a esperança matemática (valor médio) e [tex3]\sigma[/tex3] o desvio padrão (número real positivo), a densidade de probabilidade da distribuição normal é escrita como

[tex3]f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right][/tex3]

A probabilidade de uma variável aleatória com distribuição normal pertencer a um intervalo [tex3][a,b][/tex3] é dado por

[tex3]P[a,b]=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx[/tex3]

(a) Encontre [tex3]P[a,b][/tex3] expandindo [tex3]f(x)[/tex3] em séries de potências. NÃO É NECESSÁRIO RESOLVER A INTEGRAL.

(b) Mostre que [tex3]P[\mu-\sigma, \mu+\sigma]=68\%[/tex3]

[AnthonyC]

a) Sabemos que:
[tex3]\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty {x^k\over k!}[/tex3]
[tex3]\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]=\sum_{k=0}^\infty {1\over k!}\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]^k[/tex3]
[tex3]\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]=\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2k}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2k}[/tex3]

Logo:
[tex3]P[a,b]=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx[/tex3]
[tex3]P[a,b]=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2k}dx[/tex3]

b) Temos:
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\int\limits_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2k}dx[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}\int\limits_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2k}dx[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}{\sigma\over 2k+1}\[\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2k+1}\]_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^kk!}{\sigma\over 2k+1}\cdot2[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k\over 2^{k}k!}{1\over 2k+1}[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {1\over k!(2k+1)}{(-1)^k\over 2^k}[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {1\over k!(2k+1)}{(-1)^{k}\over (\sqrt2)^{2k}}[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty {1\over k!(2k+1)}{(-1)^{k}\over (\sqrt2)^{2k+1}}[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=\text{erf}\(1\over\sqrt2\)[/tex3]
[tex3]P[\mu-\sigma,\mu+\sigma]=0,68[/tex3]