Pré-Vestibular ⇒ (CESMAC) Função 2º grau

[Vscarv]

João tem um serviço de aluguel de bicicletas. Quando o preço diário do aluguel é de R$ 12,00 por bicicleta, ele aluga 36 bicicletas por dia. Uma pesquisa entre os usuários do serviço revelou que, a cada aumento (diminuição) de cinquenta centavos no preço diário do aluguel, o número de bicicletas alugadas por dia diminuía (aumentava, respectivamente) de duas. Qual o valor máximo diário, em reais, que João pode obter com o aluguel de bicicletas?

a) R$ 440,00

b) R$ 441,00

c) R$ 442,00

d) R$ 443,00

e) R$ 444,00

Resposta

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B

[lookez]

Na situação padrão, ele aluga diariamente 36 bicicletas por 12 reais cada, seu lucro é sempre o produto: [tex3]36\cdot12[/tex3]. De acordo com o enunciado, a cada acréscimo de 50 centavos ou [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] no preço temos uma perda de 2 clientes, vamos usar [tex3]x[/tex3] como uma constante de proporcionalidade para equacionar isso:

O lucro [tex3]36\cdot12[/tex3] virou [tex3](36-2x)\cdot(12+\frac{1}{2})[/tex3]

Fazendo a distributiva, encontramos a equação do 2º grau: [tex3]-x^2-6x+432[/tex3]
Veja que é uma parábola com concavidade para baixo, ou seja, possui valor máximo, que é exatamente o lucro máximo procurado.

O [tex3]x[/tex3] máximo será, como em toda equação do 2º grau, [tex3]\frac{-b}{2a}\rightarrow\frac{6}{-2}=-3[/tex3]
Aplicando esse valor no produto para encontrar o lucro: [tex3](36-2(-3))\left(12+\frac{-3}{2}\right)=42\cdot\frac{21}{2}=\boxed{441}[/tex3]