Pré-Vestibular ⇒ UNIFENAS - geometria espacial Tópico resolvido

[luisinhocdm]

Considerando uma pirâmide tetraédrica regular cuja altura é [tex3]\sqrt{6}[/tex3], obtenha a sua aresta.

resposta: 3

[lookez]

Um resultado interessante de se decorar é que a altura interna do tetraedro será [tex3]H=\frac{l\sqrt6}{3}[/tex3], sendo [tex3]l[/tex3] o lado, e vale em relação a qualquer vértice pois tudo é perfeitamente simétrico. Para demonstrar isso basta baixar a altura interna do tetraedro, pela simetria essa altura sempre vai cair no baricentro ou "tudocentro" de uma face, que é um △equilátero, então você pode fazer um pitágoras com a aresta lateral [tex3]l[/tex3], os [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da altura do △equilátero [tex3]\frac{l\sqrt3}{2}[/tex3] (propriedade de divisão na razão 2 pra 1 do baricentro) e a altura [tex3]H[/tex3] que queremos.

Utilizando o resultado, temos que:

[tex3]\frac{l\cancel{\sqrt6}}{3}=\cancel{\sqrt6}\rightarrow \boxed{l=3}[/tex3]

Uma imagem para ajudar, na qual [tex3]H[/tex3] é a altura a que nos referimos, [tex3]h[/tex3] é a altura das faces (△equilátero), [tex3]a[/tex3] é a aresta [tex3]l[/tex3].

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