Pré-Vestibular ⇒ (SIS 2014)-Polinomios Tópico resolvido

[Polímero17]

(UEA/SIS 2014)41.O resto da divisão do polinômio P(x) = [tex3]x^{3}– 4 x^{2}+ x + 6[/tex3] por (x –1) é raiz dupla do polinômio Q(x) = [tex3]x^{3} – 9 x^{2}+ mx + n.[/tex3]
O valor de m + n é:
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10

Resposta

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c

Dá pra fazer só com briot-ruffini e igualar os restos a zero,pra encontrar m e n?

[MateusQqMDMOD]

Seja [tex3]g(X)[/tex3] e [tex3]r[/tex3] o quociente e resto, respectivamente, da divisão de [tex3]p(X)[/tex3] por [tex3](X-1),[/tex3] então

[tex3]p(X) = g(X)(X-1) + r(X) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, X^3 -4X^2 +X +6 = g(X) (X-1) + r,[/tex3]

fazendo [tex3]X =1,[/tex3] encontramos

[tex3]1^3 - 4(1)^2 +1 + 6 = g(1)(1-1) + r \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{r = 4 }[/tex3]

Como [tex3]4[/tex3] é raiz dupla do polinômio [tex3]q(X),[/tex3] podemos escrever

[tex3]q(X) = (X-X_1)(X-4)^2,[/tex3]

em que [tex3]X_1[/tex3] é a raiz não conhecida.

Daí, segue que

[tex3](X-X_1)(X-4)^2 = X^3 - 9X^2 + mX + n \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, X^3 + (-X_1 -8)X^2 + (8X_1 + 16)X - 16X_1 = X^3 - 9X^2 + mX + n,[/tex3]

da igualdade entre polinômios,

[tex3](-X_1 -8) = - 9 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{X_1 = 1}[/tex3]

Logo,

[tex3]q(X) = (X-1)(X-4)^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, q(X) = X^3 -9X^2+24X - 16[/tex3]

[tex3]\therefore \quad m + n = 24 - 16 = 8.[/tex3]