Olimpíadas ⇒ Função - (Abel Konkurransen 1997 - 98) Tópico resolvido

[Hanon]

Seja [tex3]f_i(x), \ i=1,\ 2,\ 3,...[/tex3] definida por [tex3]f_1(x)=\frac{1}{1-x}[/tex3] e [tex3]f_{i+1}(x)=f_i(f_1(x))[/tex3]. Então, [tex3]f_{1998}(1998)[/tex3] é igual a:
a) 0
b) 1998
c) [tex3]-\frac{1}{1997}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1997}{1998}[/tex3]
e) Nenhuma das anteriores.

[csmarceloMOD]

[tex3]f_1(x)=\frac{1}{1-x}[/tex3]

[tex3]f_2(x)=f_{1+1}(x)=f_1(f_1(x))=\frac{1}{1-\(\frac{1}{1-x}\)}=\frac{x-1}{x}[/tex3]

[tex3]f_3(x)=f_{1+2}(x)=f_1(f_2(x))=\frac{\(\frac{1}{1-x}\)-1}{\(\frac{1}{1-x}\)}=x[/tex3]

[tex3]f_4(x)=f_{1+3}(x)=f_1(f_3(x))=\frac{1}{1-x}[/tex3]

Daí já é possível concluir que quando:

1) [tex3]i=4k+1[/tex3], então [tex3]f_i(x)=\frac{1}{1-x}[/tex3]
2) [tex3]i=4k+2[/tex3], então [tex3]f_i(x)=\frac{x-1}{x}[/tex3]
3) [tex3]i=4k+3[/tex3], então [tex3]f_i(x)=x[/tex3]
4) [tex3]i=4k[/tex3], então [tex3]f_i(x)=\frac{1}{1-x}[/tex3]

[tex3]1998=4\cdot499+2[/tex3], logo [tex3]f_{1998}(1998)=\frac{1998-1}{1998}=\frac{1997}{1998}[/tex3]

[Hanon]

Obrigado csmarcelo!