IME / ITA ⇒ (EN - 1983) Geometria Analítica no Espaço: Reta Tópico resolvido

[mvgcsdf]

A reta [tex3]s,[/tex3] que passa pelo ponto [tex3]P(1, -2, 1),[/tex3] corta a reta [tex3]r[/tex3] de equações [tex3]x-1=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{3},[/tex3] e é perpendicular a [tex3]r,[/tex3] tem equações:

a) [tex3]\begin{cases}x = 1 + t\\ y = -2 + 2t\\ z = 1 + t \end{cases}[/tex3]
b) [tex3]\begin{cases}x = 1 - t\\ y = -2 - 4t\\ z = 1 + 3t \end{cases}[/tex3]
c) [tex3]\begin{cases}x = 1 - 5t\\ y = -2 + t\\ z = 1 + t \end{cases}[/tex3]
d) [tex3]\left\{\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} + 3t\\ y = -1 + 3t\\ z = \frac{1}{2} - 3t \end{array}\right.[/tex3]
e) [tex3]\begin{cases}x = 1 + 5t\\ y = -2 + 2t\\ z = 1 - 3t \end{cases}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá mvgcsdf,

A equação paramétrica da reta [tex3]r[/tex3] é:

[tex3]\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=2+3t\end{cases}[/tex3]

O vetor direcional de [tex3]r[/tex3] é [tex3](1, 2, 3)[/tex3]. Digamos que o vetor direcional da reta que procuramos seja [tex3](a, b, c)[/tex3]. Assim, o produto escalar entre estes dois vetores deve ser ZERO, pois são perpendiculares:

[tex3](1,2,3)\cdot(a,b,c)=0[/tex3]

[tex3]a+2b+3c=0[/tex3]

Assim, a reta [tex3]s[/tex3] possui equação paramétrica (parâmetro [tex3]k[/tex3] e lembrando que ela passa pelo ponto [tex3](1, -2, 1)[/tex3]):

[tex3]\begin{cases}x=1+ak\\y=-2+bk\\z=1+ck\end{cases}[/tex3]

Como o exercí­cio diz que a nossa reta INTERCEPTA a reta [tex3]r[/tex3], então existe solução o sistema formado pelas suas equações paramétricas. Acrescentando também a equação encontrada com o produto escalar teremos o sistema:

[tex3]\begin{cases}1+ak=1+t\\-2+bk=2t\\1+ck=2+3t\\a+2b+3c=0\,\,\,\end{cases}\rightarrow \,\,\boxed{t=-\frac 12}[/tex3]

Este é o parâmetro [tex3]t[/tex3] que nos dá o ponto de interesecção das duas retas. Substituindo na equação paramétrica da reta [tex3]r[/tex3] encontraremos as coordenadas do ponto:

[tex3]\begin{cases}x=1-\frac 12\,\,\rightarrow \,\,\boxed{x=\frac 12}\\y=2\(-\frac 12\)\,\,\rightarrow \,\,\boxed{y=-1}\\z=2+3\(-\frac 12\)\,\,\rightarrow \,\,\boxed{z=\frac 12}\end{cases}[/tex3]

Agora que sabemos dois pontos pertencentes à reta [tex3]s[/tex3], podemos encontrar seu vetor direcional fazendo a diferença das coordenadas dos dois pontos:

[tex3]\(\frac 12,\,\,-1,\,\,\frac 12\)[/tex3]

Tendo um ponto que ela passa, e seu vetor direcional, sua equação paramétrica, completa, pode ser:

[tex3]\begin{cases}x=1+\frac 12k\\y=-2-k\\z=1+\frac 12k\end{cases}[/tex3]

Como nas alternativas temos [tex3]t[/tex3], e não há esta alternativa, vamos fazer uma mudança de parâmetro: [tex3]k=2t[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x=1+t\\y=-2-2t\\z=1+t\end{cases}[/tex3]

Bah, não tem este alternativa nas respostas (a mais próxima é letra A). Devo estar com muito sono.
Achei esta questão fuçando nas questões antigas sem resposta. Analisem minhas contas e meu raciocínio, é mais provável eu ter errado algo do que a questão estar digitada de forma errada.

Grande abraço,
Prof. Caju