Olá.
Como essa questão está no volume 1 do Aref, estarei considerando que ela se refere às funções reais de variável real. (Estarei ignorando sumariamente a existência dos complexos, que só são apresentados no Vol.7).
Primeiro, sabemos que para uma raiz quadrada real estar definida, precisamos que aquilo que "estiver dentro" dela seja positivo ou nulo.
Ao mesmo tempo, sabemos que para a fração existir, não podemos ter um termo "abaixo" que seja nulo.
Apenas dessas definições, podemos estabelecer que x não pode ser 2. (I)
Para o termo de cima ser positivo ou nulo:
1. Como um termo real elevado ao quadrado SEMPRE é positivo, é impossível que -(termo ao quadrado) seja positivo.
2. Então, só nos resta uma possibilidade: o termo dentro da raíz tem que ser nulo. Para isso, x deve ser igual a -2 ou 2.
Por (I) sabemos que 2 não serve.
Então, nosso domínio (conjunto de valores que podem ser usados na função) é apenas -2.
Para obtermos o conjunto imagem da função, como ela só tem um possível valor no domínio, basta substituirmos -2 na equação da função. Isso nos dá todos os valores possíveis para o conjunto imagem (conjunto das possíveis respostas que a função possui). Nesse caso, nosso conjunto imagem é apenas o termo 0.
Já o contradomínio da nossa função é o conjunto de todos os valores que nossa função poderia assumir com o mínimo de restrições. Para definir ele, basicamente ignoramos as restrições que usamos acima e simplesmente observamos o maior conjunto possível que a função poderia nos dar. Percebemos que, como foi dito no começo da resolução, estou ignorando a existência dos números complexos. Portanto, nossa função no máximo poderia nos dar todos os valores do maior conjunto "abaixo" dos complexos. Esse maior conjunto é o conjunto dos reais. Portanto, nosso contradominio é o conjunto dos reais.
Nota-se que as restrições de domínio impedem que mais valores do contradomínio sejam obtidos pela nossa função. Dessa forma, nosso conjunto imagem é apenas um subconjunto unitário do nosso contradominio. (Como visto antes)
Espero que tenha ajudado.
Nas próximas questões coloque o gabarito, pois nessa tive que pesquisar no meu Aref...
