Estude! Com Prof. Caju

O presidente p de um grêmio estudantil convida 7 membros da diretoria: a, b, c, d, e,f,g, para um almoço em mesa redonda. O presidente sabe que o membro "a" suporta "b" e "c" somente quando esses dois membros estão juntos; estando separados, "a" não deve permanecer junto de nenhum deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar assento à mesa com seus colaboradores.

Não consegui chegar no gabarito sugerido, mas deixarei minha ideia aqui e em outro momento volto no tópico.

É interessante dividir o problema em casos.

[tex3]\text{i)}[/tex3] Permutações circulares em que "b" e "c" estão juntos;

Há [tex3](PC)_7 = 6![/tex3] modos de formar essa roda. Mas devemos decidir em que ordem "b" e "c" se apresentarão ([tex3]2![/tex3] modos).

Estes casos são em número de [tex3]6! \times 2.[/tex3]

[tex3]\text{ii)}[/tex3] Permutações circulares em que "a", "b" e "c" não estão juntos;

Há [tex3](PC)_5 = 4![/tex3] modos de formar uma roda com "p", "d", "e", "f" e "g". Depois disso, "a", "b" e "c"devem ser postos nos lugares entre os membros já dispostos. Há [tex3]C_5^3[/tex3] modos de escolhermos seus lugares. Finalmente, devemos apenas arrumá-los nestes assentos ([tex3]3![/tex3] modos).

Estes casos são em número de [tex3]4! \times C_5^3 \times 3! [/tex3]

A minha resposta é [tex3]6! \times 2 + 4! \times C_5^3 \times 3! = 2880.[/tex3]

Penso que o gabarito esteja com falha.

Também acredito que o gabarito esteja com falha. Concordo com a resposta do MateusQqMD.

Pensei em uma possibilidade de resolução, mas por algum motivo tambem nao cheguei no resultado esperado.

Segue a ideia:
Pegar o total de permutaçoes circulares sem restrições e retirar desses casos os que ab estao juntos, separados de c, e os que ac estao juntos, separados de b.

Encontrei o resultado 3120.

Não entendi o que você quis fazer. Talvez algum outro colega possa ajudá-lo melhor.

A resolução que imaginei é:
_____
Pelo raciocínio indireto: acho os casos desfavoráveis e subtraio dos casos totais.
Casos desfavoráveis: b junto com a e separado de c; c junto com a e separado de b.
Casos totais: PC8.

____

Primeiramente, faço a permutaçao circular de 8 elementos. (Casos totais)
PC8 = 7! = 5040

Depois, considero que c, por exemplo, esteja em determinado lugar.
Quero os casos em que a e b estão juntos, porém separados de c.
Após c sentar, temos 5 lugares disponiveis para a e b.
Para distribuirmos a e b nesses 5 lugares possiveis, sendo que eles devem estar juntos, temos 4 possibilidades. Permutando a posição de ambos, 8 possibilidades.
Restam 5 lugares disponiveis, sendo que a b e c ja estao sentados.
Por isso, pensei em permutar 5 elementos.

Fazendo esse processo duas vezes (uma para a e b juntos e outra para a e c juntos) e retirando do total de casos (5040) obtenho 3120...

Alguem enxerga algum erro nisso?

Eu entendi o que você quis dizer agora. Mas estou sem tempo para pensar na sua solução. Em outro momento volto aqui.

Não consegui pensar em todas as situações que faltam ser consideradas, mas uma delas é o caso em que [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] estão sentados juntos, com [tex3]a[/tex3] entre os outros dois. Do jeito que você pensou, sempre existe alguém entre [tex3]ab[/tex3] e [tex3]c[/tex3] ou [tex3]ac[/tex3] e [tex3]b[/tex3].

Acredito que a melhor forma de resolver seja a exposta pelo Matheus. Por exclusão está se mostrando bastante trabalhoso.

Realmente esqueci de considerar esse caso.

Supondo a b e c juntos, temos 2 possibilidades:
B A C e C A B
Restam, portanto, 5 lugares para distribuirmos entre as pessoas restantes.
2.5! = 240

Mesmo assim, ficamos com 3120 - 240 = 2880.