Ensino Superior ⇒ Máximo e mínimos na região limitada Tópico resolvido

[Adonai]

Achar os máximos e mínimos locais de [tex3]f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}[/tex3] no círculo [tex3]x^{2}+y^{2}\leq 1[/tex3]

[Cardoso1979]

Olá Adonai, vou sair agora assim que eu retornar eu resolverei

[Cardoso1979]

Observe

Solução ( Aplicação do Teorema de Weierstrass ) :

A figura abraço representa o domínio em análise.


Ops!


[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^2+y^2+1)^{-\frac{1}{2}}.2x[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(x^2+y^2+1)^{-\frac{1}{2}}.2y[/tex3]

Daí, temos o seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+1}}=0 \\
\\
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+1}}=0
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema obtemos o ponto ( 0 , 0 ) no interior do domínio.

Então,

f( 0 , 0 ) = 1.

Para a fronteira temos todos os pontos tais que x² + y² = 1 . Para esses pontos vamos sempre obter a imagem da função igual a :

f( x , y ) = √( x² + y² + 1 )

f( x , y ) = √( 1 + 1 )

f( x , y ) = √2 .


Assim,

• ( 0 , 0 ) é ponto de mínimo da função e o valor mínimo é igual a 1;

• Todos os pontos da fronteira, pares ( x , y ) tais que x² + y² = 1 são pontos de máximo e o valor máximo é igual a √2.



Nota

Infelizmente não consegui anexar a figura! Não sei o que ocorreu...fiz o possível



Bons estudos!