Olimpíadas ⇒ IMO 1990 Divisibilidade Tópico resolvido

[Hanon]

Determine todos os números inteiros [tex3]n> 1[/tex3] tal que
[tex3]\frac{2^n+1}{n^2}[/tex3]
Seja inteiro.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Perceba que n = 1 é uma solução. Suponhamos agora que n > 1.

Seja [tex3]n=p_{1}^{\alpha _{1} }•p_{2}^{\alpha _{2} }•...•p_{k}^{\alpha _{k} }[/tex3] , com [tex3]p_{1} < p_{2} < ...< p_{k}[/tex3].


Vamos encontrar [tex3]p_{1}[/tex3]. Note que como n²|( 2 [tex3]^{n}[/tex3] + 1 ) , [tex3]p_{1}|(2^n + 1 )[/tex3] ⟺ [tex3]2^{n}≡-1(mód. p_{1})→2^{2n}≡1(mód. p_{1})[/tex3].

Seja [tex3]d_{1}=ord_{p_{1}}2[/tex3]. Então [tex3]d_{1}|2n[/tex3] , [tex3]d_{1}[/tex3] não duvide n e [tex3]d_{1}|(p_{1}-1)[/tex3]. Logo [tex3]d_{1}|[ mdc (2n \ , \ p_{1}-1)][/tex3]. Porém, note que [tex3]p_{1}-1[/tex3] é menor do que qualquer fator primo de n, de modo que não pode ter divisores comuns com n. Portanto, [tex3][mdc (2n \ , \ p_{1}-1)]|2[/tex3], e temos [tex3]d_{1}|2→2^2≡1(mód.p_{1})→p_{1}=3[/tex3]

Como 3||( 2 + 1 ) e [tex3]3^{\alpha _{1}}||n[/tex3] , do lema de Hensel temos que [tex3]3^{1+\alpha _{1}}||(2^n + 1)[/tex3]. Mas [tex3]3^{2\alpha }||n^2[/tex3] , logo [tex3]2\alpha _{1}≤1+\alpha _{1}→\alpha _{1}=1[/tex3].

Perceba que não há contradição, então encontremos [tex3]p_{2}[/tex3]. Novamente, [tex3]2^{n}≡-1(mód. p_{2}) \ e \ 2^{2n}≡1(mód. p_{2})[/tex3].

Seja [tex3]n_{2}=n/3=p_{2}^{\alpha _{2}}•...•p
_{k}^{\alpha _{k}}[/tex3] e [tex3]d_{2}=ord_{p_{2}}2[/tex3]. Logo [tex3]d_{2}|6n_{2}[/tex3] , [tex3]d_{2}[/tex3] não divide [tex3]3n_{2}[/tex3] e [tex3]d_{2}|(p_{2}-1)[/tex3].

Como todos os divisores primos de [tex3]n_{2}[/tex3] são maiores do que [tex3]p_{2}-1[/tex3], [tex3]d_{2}|6[/tex3] e [tex3]d_{2}[/tex3] não divide 3. Assim, [tex3]2^{6}≡1(mód. p_{2})→p_{2}=7.[/tex3] O que é uma contradição pois [tex3]d_{2}=ord_{7}2=3[/tex3] e [tex3]d_{2}[/tex3] não divide 3.

Portanto, não há [tex3]p_{2}[/tex3]( e primos maiores também ) , e as únicas soluções são n = 1 e n = 3.


Nota

Lema de Hensel

Sejam p um número primo e [tex3]\alpha[/tex3] > 0.

I - Se n é ímpar, [tex3]p^{\alpha }||(a+1)[/tex3] e [tex3]p^{\beta }||n[/tex3] , então [tex3]p^{\alpha +\beta }||(a^{n}+1)[/tex3].

II - Se [tex3]p^{\alpha }||(a-1)[/tex3] e [tex3]p^{\beta }||n[/tex3] , então [tex3]p^{\alpha +\beta }||(a^{n}-1)[/tex3].



Bons estudos!

[Babi123]

Cardoso1979, Que notação é essa de duas barras verticais [tex3]||[/tex3] em Aritmética?