Ensino Superior ⇒ Afixos de raízes cúbicas Tópico resolvido

[Edilene]

Resposta

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D

Os afixos das raízes cúbicas do número complexo z = - i são vértices de um triângulo de área
A) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]/2 unidades
(B)[tex3]\sqrt{3}[/tex3]/4 unidades.
(C) 3 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]/2 unidades.
(D) 3 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]/4 unidades.
(E) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]/6 unidades.

[Matheusrpb]

Edilene, boa noite !

[tex3]z = -i [/tex3]

[tex3]z = \cis \(\frac{3\pi}2\)[/tex3]

[tex3]|z| = 1 [/tex3]

[tex3]\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{z}\cis\(\frac{\theta +2k\pi}n\) \ → \ k = 0,1,2,...,n-1[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{z}=w = \sqrt[3] 1\cis\(\frac{\frac{3\pi}2+2k\pi}3\) [/tex3]

• [tex3]k=0 [/tex3]:

[tex3]w_1 = \cis \(\frac \pi 2\) [/tex3]

[tex3]\boxed{ w_1 = i }[/tex3]

• [tex3]k = 1 [/tex3]

[tex3]w_2 = \cis\(\frac{7\pi}6\) [/tex3]

[tex3]\boxed{ w_2 = -\frac{\sqrt 3}2 - \frac 12 \cdot i}[/tex3]

• O triângulo formado é equilátero, por isso só calculei dois dos três pontos. Calculando o lado do triângulo:

[tex3]l = \sqrt{\(0-\(\frac{\sqrt 3}2\)\)^2+\(1-\(-\frac 12\)\)^2}[/tex3]

[tex3]l = \sqrt{\frac 34 + \frac 94} [/tex3]

[tex3]\boxed{ l = \sqrt 3 }[/tex3]

• Calculando a área do triângulo:

[tex3]S_∆ = \frac {l^2\sqrt 3}4 [/tex3]

[tex3]S_∆ = \frac{(\sqrt 3)^2\sqrt 3}4[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{S_∆ = \frac{3\sqrt 3}4}} [/tex3]