Ensino Médio ⇒ Pentágono - Área Tópico resolvido

[Babi123]

Calcule a área do pentágono [tex3]ABCDE[/tex3] se o quadrado tem lado igual a [tex3]10m[/tex3].

68798349_382922072421308_6479502020544823296_n.png~3.jpg (7.74 KiB) Exibido 1990 vezes

a) [tex3]19\sqrt5m^2[/tex3]
b) [tex3](25-19\sqrt5)m^2[/tex3]
c) [tex3](19-5\sqrt5)m^2[/tex3]
d) [tex3](19-\sqrt5)m^2[/tex3]



Volta sousóeu!

[csmarceloMOD]

Não sou um exímio geômetra, então pode ser que haja uma maneira mais simples.

Eu pensei em fazer D o centro de um plano cartesiano. Com isso, é possível determinar as equações das retas oblíquas e circunferências e, então, encontrar as coordenadas das interseções das figuras para, finalmente, usar o método do determinante para encontrar a área de um polígono convexo dadas as coordenadas de seus vértices.

Eu estou no celular, por isso não vou conseguir desenvolver.

[csmarceloMOD]

Fiz um rabisco aqui, mas ficou inapresentável...

É suficiente focar na reta AE e circunferência ED, visto que os pontos B e C são reflexos de A e E, respectivamente, em relação à reta [tex3]y=-x[/tex3].

As contas são mais simples do que imaginei. Há um cancelamento bem conveniente.

[jvmago]

Já resolvi essa questão aqui no fórum se não me engano

[jvmago]

Deixa quieto nao foi aqui mas já adianto que n é nada trivial!! Vou resolver-la bêbado!

[jvmago]

Vou dar a plantinha aqui
Una os centros das Circunferências

Trace as perpendiculares aos lados do quadrado que partem dos pontos A e B

Use proporções do 53/2,127/2 e daí vai ser encontrar todos os segmentos em função dessa proporção!

O resultado final da l²(alguma coisa feia)/100

Conforme for eu posto ainda hj pois geometria dopado é massa

[jvmago]

Vou dar a plantinha aqui
Una os centros das Circunferências

Trace as perpendiculares aos lados do quadrado que partem dos pontos A e B

Use proporções do 53/2,127/2 e daí vai ser encontrar todos os segmentos em função dessa proporção!

O resultado final da l²(alguma coisa feia)/100

Conforme for eu posto ainda hj pois geometria dopado é massa

[tex3]\frac{l^2(19-5\sqrt{5})}{100}[/tex3] é a resposta, achei o papel aqui

[csmarceloMOD]

Vou deixar minha forma aqui só pra constar.

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[tex3]r:ax+b[/tex3]

Das coordenadas [tex3](0,-5)[/tex3], concluímos que [tex3]b=-5[/tex3].

[tex3]r:ax-5[/tex3]

Jogando as coordenadas [tex3](-5,5)[/tex3]

[tex3]-5a-5=5\therefore a=-2[/tex3]

Logo, [tex3]r:-2x-5[/tex3]

Calculando as coordenadas da interseção entre [tex3]r[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] (ponto [tex3]E[/tex3]).

[tex3]c_1:x^2+(y+5)^2=25[/tex3]

[tex3]x^2+[(-2x\cancel{-5})\cancel{+5}]^2=25\therefore x=-\sqrt{5}\therefore y=2\sqrt{5}-5[/tex3]

Daí, [tex3]C=(5-2\sqrt{5},\sqrt{5})[/tex3].

Calculando as coordenadas da interseção entre [tex3]r[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] (ponto [tex3]A[/tex3]).

[tex3]c_2:(x-5)^2+(y+5)^2=100[/tex3]

[tex3](x-5)^2+[(-2x\cancel{-5})\cancel{+5}]^2=100\therefore x=-3\therefore y=1[/tex3]

Daí, [tex3]B=(-1,3)[/tex3].

Agora, escolhemos um dos pontos e, no sentido horário (ou anti-horário), dispomo-los em uma tabela repetindo as coordenadas do primeiro ponto conforme abaixo:

[tex3]A=(-3,1)[/tex3]
[tex3]B=(-1,3)[/tex3]
[tex3]C=(5-2\sqrt{5},\sqrt{5})[/tex3]
[tex3]D=(0,0)[/tex3]
[tex3]E=(-\sqrt{5},2\sqrt{5}-5)[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3 \\
5-2\sqrt{5} & \sqrt{5} \\
0 & 0 \\
-\sqrt{5} & 2\sqrt{5}-5 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}[/tex3]

Em seguida somamos os produtos dos números de mesma cor:

[tex3]\begin{pmatrix}
{\color{green}-3} & 1 \\
{\color{blue}-1} & {\color{green}3} \\
{\color{red}5-2\sqrt{5}} & {\color{blue}\sqrt{5}} \\
{\color{magenta}0} & {\color{red}0} \\
{\color{pink}-\sqrt{5}} & {\color{magenta}2\sqrt{5}-5} \\
-3 & {\color{pink}1}
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3](-3)3-\sqrt{5}+0+0-\sqrt{5}=-9-2\sqrt{5}[/tex3]

E repetimos o processo para a nova combinação de cores conforme abaixo:

[tex3]\begin{pmatrix}
-3 & {\color{green}1} \\
{\color{green}-1} & {\color{blue}3} \\
{\color{blue}5-2\sqrt{5}} & {\color{red}\sqrt{5}} \\
{\color{red}0} & {\color{magenta}0} \\
{\color{magenta}-\sqrt{5}} & {\color{pink}2\sqrt{5}-5} \\
{\color{pink}-3} & 1
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]-1+15-6\sqrt{5}+0+0+15-6\sqrt{5}=29-12\sqrt{5}[/tex3]

A área do polígono é igual à metade do módulo da diferença dos dois valores encontrados.

[tex3]\frac{29-12\sqrt{5}-(-9-2\sqrt{5})}{2}=19-5\sqrt{5}[/tex3]

[Babi123]

csmarcelo , legal!!!

[jvmago]

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