Ensino Superior ⇒ Retas paralelas e ortogonal

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A reta [tex3]r:\frac{x-1}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{-2}[/tex3] é paralela à reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é simultaneamente ortogonal as retas:

[tex3]r_1:\begin{cases}
x=-t \\
y=-2t+3 \\
z=3t-1
\end{cases}[/tex3] e [tex3]r_2:\begin{cases}
y=x \\
z=2x
\end{cases}[/tex3]

Resposta

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Resposta:
a=14 e b=-10

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Vamos passar a equação reduzida r [tex3]_{2}[/tex3] para a sua forma paramétrica, temos:

Para y = x = 0 → z = 0, temos o ponto P( 0 , 0 , 0 ).

Para y = x = 1 → z = 2 , temos o ponto Q( 1 , 1 , 2 ).

Daí;

[tex3]\vec{PQ}=Q-P=(1,1,2)-(0,0,0)=(1,1,2)[/tex3] → vetor diretor de [tex3]r_{2}[/tex3].

Então;

[tex3]\begin{cases}
x= s\\
y=s \\
z=2s
\end{cases}[/tex3]


Vemos que um vetor diretor de [tex3]r_{1}[/tex3] é [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( - 1 , - 2 , 3 ) e um vetor diretor de [tex3]r_{2}[/tex3] é [tex3]\vec{PQ}[/tex3] = ( 1 , 1 , 2 ), para determinarmos um vetor diretor de [tex3]r_{3}[/tex3], basta calcularmos o produto vetorial entre os vetores diretores de [tex3]r_{1}[/tex3] com [tex3]r_{2}[/tex3] , já que as retas [tex3]r_{1}[/tex3] e [tex3]r_{2}[/tex3] são simultaneamente ortogonal a reta [tex3]r_{3}[/tex3]( reta paralela a reta r ). Vem;

[tex3]\vec{u}=\vec{v}\wedge \vec{PQ}=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\vec{i} &&& \vec{j} && \vec{k} \\
-1 &&& -2 && 3\\
1 &&& 1 && 2
\end{array} \right][/tex3]

[tex3]\vec{u}=-\vec{k}-4\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{j}+2\vec{k}-3\vec{i}[/tex3]

[tex3]\vec{u}=-7\vec{i}+5\vec{j}+\vec{k}[/tex3]

[tex3]\vec{u}[/tex3] = ( - 7 , 5 , 1 ) → vetor diretor da reta [tex3]r_{3}[/tex3].

Como r [tex3]_{3}[/tex3] passa por A( - 1 , 0 , 0 ) , temos:

[tex3]r_{3}:\frac{x+1}{-7}=\frac{y-0}{5}=\frac{z-0}{1}[/tex3]

Por outro lado, como [tex3]r//r_{3}[/tex3] , então ( a , b , - 2 ) = k.( - 7 , 5 , 1 ), onde k = - 2. Daí, ( a , b , - 2 ) = - 2.( - 7 , 5 , 1 ) → ( a , b , - 2 ) = ( 14 , - 10 , - 2 ) , logo , a = 14 e b = - 10.


Portanto, a = 14 e b = - 10.



Bons estudos!