goncalves3718,
1° caso:
BP é perpendicular
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O triângulo BPC é isóceles.
Seja
[tex3]2α=\hat A[/tex3]
Temos que os ângulos PBC e BPC são iguais a α, pois o ângulo oposto à base do triângulo isóceles vale 180°-2α, aí basta ver que se forma um triângulo que possui um ângulo igual a (90°-α), outro igual a α, e o terceiro ângulo é o ângulo formado entre BP e a bissetriz de A. Como a soma dos ângulos de um triangulo dá 180°, o terceiro ângulo só pode ser 90°.
2° caso
BP é paralelo
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Basta provar que BXYP é um trapézio isóceles.
Assim, eu chamei os ângulos PBC e BPC de θ, pois o triângulo BCP é isóceles, logo, o ângulo BCA vale 2θ-90°, assim, temos no triângulo ABC:
2α+2θ-90°+90°=180°
[tex3]\implies[/tex3] α+θ=90°
Finalmente, como pelo teorema do ângulo externo, PXY=BXY=90°+α, e como α+θ+90°=180°,
BXYP é um trapézio isóceles e portanto BP é paralelo à bissetriz de
[tex3]\hat A[/tex3].