IME / ITA ⇒ (AFA) Trignometria Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Na figura abaixo, [tex3]\overline{AC}=\overline{BC}=2\overline{AB}, \beta =3\alpha [/tex3] e [tex3]\overline{OA}=\overline{OB}=r[/tex3], onde [tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência com centro [tex3]O[/tex3]. Então a medida do arco [tex3](AB)[/tex3] é

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a) [tex3]r\ arc\ cos\ \frac{5}{8}[/tex3]
b) [tex3]r\ arc\ cos\ \frac{7}{8}[/tex3]
c) [tex3]3r\ arc\ cos\ \frac{5}{8}[/tex3]
d) [tex3]3r\ arc\ cos\ \frac{7}{8}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: D

[csmarceloMOD]

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[tex3]\cos\gamma=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}[/tex3]

Como [tex3]\gamma[/tex3] e [tex3]\frac{\alpha}{2}[/tex3] são complementares, [tex3]sin\frac{\alpha}{2}=\cos\gamma[/tex3].

Pela Lei Fundamental da Trigonometria:

[tex3]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\sin\frac{\alpha}{2}}[/tex3]

[tex3]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\(\frac{1}{4}\)^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

Pela fórmula do arco-metade:

[tex3]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{15}}{4}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\therefore\cos\alpha=\frac{7}{8}[/tex3]

Daí,

[tex3]\cos\alpha=\frac{7}{8}\rightarrow\arccos\frac{7}{8}=\alpha\therefore3\alpha=3\arccos\frac{7}{8}[/tex3]

Para finalizar, sabemos que

[tex3]c=r\cdot\alpha[/tex3], onde

[tex3]c[/tex3] é o comprimento do arco da circunferência
[tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência
[tex3]\alpha[/tex3] é a medida em radianos do ângulo central que determina o arco

Logo,

[tex3]m(\widehat{AC})=r\cdot3\arccos\frac{7}{8}[/tex3]