Olimpíadas ⇒ Somatório de Seno Tópico resolvido

[Babi123]

Prove que: [tex3]\sum_{k=1}^n\sen^4\(\frac{k\pi}{2n}\)=\frac{3n+4}{8}[/tex3]

[jedi]

[tex3]\sum_{k=1}^n\sen^4\(\frac{k\pi}{2n}\)=\sum_{k=1}^n\[\sen^2\(\frac{k\pi}{2n}\)\]^2[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^n\sen^4\(\frac{k\pi}{2n}\)=\sum_{k=1}^n\[\frac{1-\cos\(2.\frac{k\pi}{2n}\)}{2}\]^2[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^n\[\frac{1-\cos\(\frac{k\pi}{n}\)}{2}\]^2=\sum_{k=1}^n\frac{1-2\cos\(\frac{k\pi}{n}\)+\cos^2\(\frac{k\pi}{n}\)}{4}[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^n\frac{1-2\cos\(\frac{k\pi}{n}\)+\cos^2\(\frac{k\pi}{n}\)}{4}=\sum_{k=1}^n\frac{1-2\cos\(\frac{k\pi}{n}\)+\frac{1+\cos\(2.\frac{k\pi}{n}\)}{2}}{4}[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^n\frac{3-4\cos\(\frac{k\pi}{n}\)+\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)}{8}[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^n\frac{3}{8}-\frac{4}{8}\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{k\pi}{n}\)+\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)[/tex3]

É fácil perceber que o primeiro somatório é igual a n

[tex3]\sum_{k=1}^n\frac{3}{8}=\frac{3n}{8}[/tex3]

agora, vamos estudar o segundo somatório


[tex3]\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{k\pi}{n}\)=\cos\(\frac{\pi}{n}\)+\cos\(\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(\frac{3\pi}{n}\)+\dots+\cos\(\frac{(n-3)\pi}{n}\)+\cos\(\frac{(n-2)\pi}{n}\)+\cos\(\frac{(n-1)\pi}{n}\)+\cos\(\frac{n\pi}{n}\)[/tex3]

porém

[tex3]-\cos\(\frac{k\pi}{n}\)=\cos\(\pi-\frac{k\pi}{n}\)[/tex3]

[tex3]-\cos\(\frac{k\pi}{n}\)=\cos\(\frac{(n-k)\pi}{n}\)[/tex3]

então

[tex3]\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{k\pi}{n}\)=\cos\(\frac{\pi}{n}\)+\cos\(\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(\frac{3\pi}{n}\)+\dots-\cos\(\frac{3\pi}{n}\)-\cos\(\frac{2\pi}{n}\)-\cos\(\frac{\pi}{n}\)+\cos(\pi)[/tex3]


[tex3]\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{k\pi}{n}\)=\cos(\pi)=-1[/tex3]

agora, vamos estudar o terceiro somatório

[tex3]\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=\cos\(\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(2.\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(2.\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(3.\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(4.\frac{2\pi}{n}\)+\dots+\cos\((n-1)\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(2\pi\)[/tex3]


[tex3]\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=\cos\(2\pi+\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(2.\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(3.\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\)+\dots+\cos\((n-1)\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\)[/tex3]

como também

[tex3]\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=\cos\(2.\frac{2\pi}{n}-\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(3.\frac{2\pi}{n}-\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(4.\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\)+\dots+\cos\((n-1)\frac{2\pi}{n}-\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(2\pi-\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(\frac{2\pi}{n}-\frac{2\pi}{n}\)[/tex3]

porém

[tex3]\cos\(k.\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(k.\frac{2\pi}{n}-\frac{2\pi}{n}\)=2.\cos\(\frac{2\pi}{n}\).\cos\(k\frac{2\pi}{n}\)[/tex3]

então somando as duas expressões anteriores

[tex3]2.\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=2\cos\(\frac{2\pi}{n}\)\cos\(\frac{2\pi}{n}\)+2\cos\(\frac{2\pi}{n}\)\cos\(2\frac{2\pi}{n}\)+2\cos\(\frac{2\pi}{n}\)\cos\(3.\frac{2\pi}{n}\)+\dots+2\cos\(\frac{2\pi}{n}\)\cos\((n-1).\frac{2\pi}{n}\)+2\cos\(\frac{2\pi}{n}\)\cos(2\pi)[/tex3]

[tex3]2.\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=2\cos\(\frac{2\pi}{n}\)\[\cos\(\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(2\frac{2\pi}{n}\)+\cos\(3.\frac{2\pi}{n}\)+\dots+\cos\((n-1)\frac{2\pi}{n}\)+\cos(2\pi)\][/tex3]

[tex3]2.\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=2\cos\(\frac{2\pi}{n}\).\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)[/tex3]

[tex3]\(\cos\(\frac{2\pi}{n}\)-1\).\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=0[/tex3]

Sendo assim ou termo entre parênteses ou o somatório é igual a 0.
Como o termo entre parêntese só é igual a 0 para n=4 então concluímos que, para valores de [tex3]n\neq4[/tex3] o somatório é igual a 0

mas se n=4 então [tex3]\sum_{k=1}^{4}\cos\(\frac{2k\pi}{4}\)=\cos\(\frac{\pi}{2}\)+\cos(\pi)+\cos\(\frac{3\pi}{4}\)+\cos(2\pi)=0[/tex3]

então o terceiro somatório vale 0 para qualquer valor

portanto a substituindo na expressaõ encontrada no inicio.


[tex3]\sum_{k=1}^n\frac{3}{8}-\frac{4}{8}\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{k\pi}{n}\)+\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{n}\cos\(\frac{2k\pi}{n}\)=\frac{3n}{8}-\frac{4}{8}(-1)+0[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^n\sen^4\(\frac{k\pi}{2n}\)=\frac{3n+4}{8}[/tex3]

[snooplammer]

Essa questão me lembrou uma questão que eu tinha proposto aqui viewtopic.php?f=3&t=74305