Ensino Médio ⇒ (CMR) Operações Algébricas Tópico resolvido

[urbano]

Sejam [tex3]a, b, c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] número reais, onde [tex3](2a + b - c)^6 +(a-b)^4 + (c+d-9)^2 = 0[/tex3], e [tex3](\sqrt{d+1}) \cdot (\sqrt{1+d}) = 1[/tex3]. Qual é o valor da expressão [tex3]\frac{a\cdot b}{c+d}[/tex3]?
a) 9
b) 1
c) 3
d) -9
e) -3

Resposta

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b

[goncalves3718]

[tex3](\sqrt{d+1})\cdot(\sqrt{1+d})[/tex3], logo:

[tex3](\sqrt{d+1})\cdot(\sqrt{1+d})=\sqrt{(d+1)^2}[/tex3]

Então: [tex3]d+1=1\implies d=0 [/tex3]
Perceba que podemos escrever a primeira expressão como:

[tex3][(2a+b-c)^{3}]^{2}+[(a-b)^{2}]^2+(c+d-9)^2=0[/tex3]

Como todos os termos da expressão são quadrados perfeitos, ou sejam estão elevados a [tex3]2[/tex3], o resultado será sempre positivo ou [tex3]0[/tex3], pois um número ao quadrado é sempre positivo e se esse número for [tex3]0[/tex3] , teremos [tex3]0^2=0[/tex3].
Então a única possibilidade para essa expressão é que:

• [tex3](2a+b-c)^6=0\implies 2a+b-c=0[/tex3] (I)
• [tex3](a-b)^4=0 \implies a-b=0[/tex3] (II)
• [tex3](c+d-9)^2=0\implies c+d-9=0[/tex3] (III)

Sabemos que [tex3]d=0[/tex3], logo:

[tex3]c+d-9=0[/tex3]
[tex3]c+0-9=0[/tex3]
[tex3]c-9=0[/tex3]
[tex3]c=0+9\implies c=9[/tex3]

Voltando em (I) :

[tex3]2a+b-c=0[/tex3]
[tex3]2a+b-9=0[/tex3]
[tex3]2a+b=9[/tex3] (IV)

Voltando em (II) e (IV) , temos um sistema de equação:

[tex3]2a+b=9\\a-b=0 [/tex3]
Daí [tex3]3a=9\implies a=3[/tex3]

E como [tex3]a-b=0\implies a=b[/tex3], então [tex3]b=3[/tex3]

Resolvendo a expressão:

[tex3]\frac{a\cdot b}{c+d}[/tex3]
[tex3]\frac{3\cdot 3}{9+0}=\frac{9}{9}=1[/tex3]

Espero ter ajudado

< atenciosamente goncalves3718