Pré-Vestibular ⇒ UEM-Polinômios Tópico resolvido

[Valdilenex]

Se o polinômio p(x)= x⁴+2x³+x²+8x-12 apresenta o número complexo z=2i como um dos seus zeros, então é correto afirmar que:
01) a equação p(x) = 0 apresenta 3 raízes reais.
02) a soma das raízes de p(x) = 0 é −2 e o produto é −12.
04) dois dos zeros de p(x) são soluções da equação x²+ 2x − 3 = 0.
08) p(x) é divisível por x² – 4.
16.) os gráficos dos polinômios –p(x) e p(x) apresentam as mesmas interseções com os eixos coordenados.
Gabarito 6

[deOliveira]

Valdilenex, o polinômio dessa questão não é [tex3]p(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 8x - 12[/tex3]?

[Valdilenex]

Valdilenex, o polinômio dessa questão não é [tex3]p(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 8x - 12[/tex3]?

Issoo, acabei de arrumar o enunciado...

[deOliveira]

[tex3]p(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 8x - 12[/tex3]

1) O polinômio tem grau 4 então tem 4 raízes. Como [tex3]z=2i[/tex3] é raiz temos que o seu conjugado também é raiz. Dessa forma, o polinômio tem no máximo duas raízes reais.
Logo 1) é falsa.

2) Pelas relações de Girard temos que a soma das raízes é [tex3]-\frac21=-2[/tex3] e o produto é [tex3]\frac{-12}1=-12[/tex3].
Logo 2) é verdadeira.

4) [tex3]x^2+2x-3=0\\(x+3)(x-1)=0\\x_0=-3\\x_1=1[/tex3]
[tex3]p(-3)=(-3)^4 + 2(-3)^3 + (-3)^2 + 8(-3) - 12\\p(-3)=81+2(-27)+9-24-12\\p(-3)=90-54-36\\p(-3)=0\\\ \\p(1)=1^4 + 2\cdot1^3 + 1^2 + 8\cdot1 - 12\\p(1)=1+2+1+8-12\\p(1)=12-12\\p(1)=0[/tex3]
Logo 4) é verdadeira.

Se [tex3]p(x)[/tex3] fosse divisível por [tex3]x^2-4[/tex3] teríamos que [tex3]\pm2[/tex3] seriam raízes do polinômio.
Pelas alternativas anteriores vimos que as quatro raízes do polinômio são [tex3]\pm2i[/tex3], [tex3]-3[/tex3] e [tex3]1[/tex3].
Logo é falsa

16) [tex3]p(0)=-12\\-p(x)=-(x^4+2x^3+x^2+8x-12)=-x^4-2x^3-x^2-8x+12\\(-p)(0)=12[/tex3]
Então os polinômios [tex3]p(x)[/tex3] e [tex3]-p(x)[/tex3] cortam o eixo das ordenadas em pontos diferentes.
Logo 16) é falsa.

Soma=2+4=6

Espero ter ajudado .