Ensino Médio ⇒ Demonstração: Seqüências

[dinha]

Bom dia a todos, gostaria de saber se alguém pode me dar a resposta a esse problema aqui:

Sendo [tex3]u[/tex3] a seqüencia definida por [tex3]u_n =4\sqrt {n}+2.[/tex3]
Mostre que u não é nem aritmética, nem geométrica.

Obrigada pela ajuda.

[Thales Gheós]

Vamos ver assim:

[tex3]u_1=6[/tex3]
[tex3]u_2=4\sqrt{2}+2[/tex3]
[tex3]u_3=4\sqrt{3}+2[/tex3]

Para ser PA deveria ser:

[tex3]4\sqrt{3}+2-4\sqrt{2}-2=r[/tex3]
[tex3]4\sqrt{2}+2-6=r[/tex3]

[tex3]4(\sqrt{3}-\sqrt{2})=r[/tex3] e [tex3]4(\sqrt{2}-1)=r[/tex3] devendo ser [tex3]r-r=0[/tex3]

mas [tex3]\sqrt{3}-\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=\sqrt{3}-\sqrt{2}+1[/tex3] e [tex3]\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\gt{0}[/tex3]

Para ser PG deveria ser:

[tex3]2(2\sqrt{2}+1)=6q[/tex3]
[tex3]2(2\sqrt{3}+1)=6q^2[/tex3]

portanto [tex3]\left(\frac{2(2\sqrt{2}+1)}{6}\right)^2=\frac{2(2\sqrt{3}+1)}{6}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{3}\right)^2=\frac{2\sqrt{3}+1}{3}[/tex3] => [tex3]\frac{8+1+4\sqrt{2}}{9}=\frac{2\sqrt{3}+1}{3}[/tex3] => [tex3]\frac{9+4\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{3}+1[/tex3]

[tex3]9+4\sqrt{2}=6\sqrt{3}+3[/tex3] => [tex3]6\sqrt{3}-4\sqrt{2}=6[/tex3]=> [tex3]3\sqrt{3}-2\sqrt{2}=3[/tex3] que nos conduz a um absurdo, pois [tex3]3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\lt{3}[/tex3]