Ensino Médio ⇒ Geometria / Trigonometria Peruana Tópico resolvido

[AugustoITA]

(Peru) Na figura abaixo, [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado tal que [tex3]AM=MN[/tex3] e [tex3]QC=a[/tex3], calcule [tex3]AH[/tex3].

arrumar.png (74.05 KiB) Exibido 1601 vezes

a) a/3
b) a/5
c) a/4
d) a
e) a/2

Resposta

---

a/2.

[AugustoITA]

Solução elegantemente apresentada, no vídeo:

https://youtu.be/TGYCaknc7AQ

[geobson]

.......up.................

[AugustoITA]

Chame a interseção de HC com AD de G.
[tex3]\Delta [/tex3] MNA é isosceles implica que NÂM = [tex3]\theta [/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] AN||HC [tex3]\rightarrow [/tex3] NÂM=90º [tex3]\rightarrow [/tex3] GÂH = [tex3]\theta [/tex3].

Lei dos senos no [tex3]\Delta [/tex3] BCQ : l/sen(45º+[tex3]\theta [/tex3]) = a/sen45º [tex3]\rightarrow [/tex3]
l=a(sen [tex3]\theta [/tex3] +cos [tex3]\theta [/tex3]) (( * ))

[tex3]\Delta [/tex3] GDC: tg [tex3]\theta [/tex3] = GD/DC. (chamemos AH de x) [tex3]\rightarrow [/tex3] tg [tex3]\theta = \frac{l-\frac{x}{cos\theta }}{l}=1-\frac{x}{lcos\theta}\rightarrow\frac{x}{lcos\theta }=1-tg\theta \rightarrow x=l(cos\theta -sen\theta )[/tex3]
Usando ((*)):
[tex3]\rightarrow x=a(cos\theta +sen\theta )(cos\theta -sen\theta )=acos(2\theta )[/tex3] ((**))

Além disso, note que [tex3]\Delta AND[/tex3] é congruente ao [tex3]\Delta CQB[/tex3], de modo que AN=a, então AM=MN=[tex3]\frac{a}{2cos\theta }[/tex3].

Cire um polongamento de HC, a intersecção desse prolongemento com o prolongamento de BA chame de F.
Note que [tex3]\Delta FMC[/tex3] é semelhante ao [tex3]\Delta AMN[/tex3].
Dessa forma, FA=NC, mas FA=[tex3]\frac{x}{sen\theta }=\frac{acos(2\theta )}{sen\theta }[/tex3].

Do [tex3]\Delta MBC[/tex3], onde CMB = [tex3]2\theta [/tex3]: MCsen(2 [tex3]\theta [/tex3])=BC
(MN+NC)sen(2 [tex3]\theta [/tex3])=l [tex3]\rightarrow \left(\frac{a}{2cos\theta }+\frac{acos(2\theta )}{sen\theta }\right)sen2\theta =a(sen\theta +cos\theta )\rightarrow sen\theta +2cos\theta cos2\theta =sen\theta +cos\theta \rightarrow cos2\theta =1/2[/tex3]

Substituindo em ((**)):
x=a/2.

[petrasMOD]

AugustoITA, geobson,

Segue a imagem em escala..a original está muito distorcida