Ensino Médio ⇒ (Purple Comet) Trigonometria Tópico resolvido

[AugustoITA]

(Purple Comet - Adaptada) Se [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são dois números reais tais que [tex3]2\sen(x)\sen(y)+3\cos(y)+6\cos(x)\sen(y)=7[/tex3]. Então, o valor da expressão [tex3]\tg^2(x)+2\tg^2(y)[/tex3] vale:

Resposta

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9

[undefinied3]

[tex3]2sen(x)sen(y)+3cos(y)+6cos(x)sen(y)=cos(x-y)-cos(x+y)+3cos(y)+3sen(x+y)-3sen(x-y)[/tex3]
[tex3][3sen(x+y)-cos(x+y)]-[3sen(x-y)-cos(x-y)]+3cos(y)[/tex3]
[tex3]\sqrt{10}sen(x+y-\alpha)-\sqrt{10}sen(x-y-\alpha)+3cos(y)=[/tex3]
[tex3]\sqrt{10}[sen(x+y-\alpha)-sen(x-y-\alpha)]+3cos(y)=[/tex3]
[tex3]2\sqrt{10}sen(y)cos(x-\alpha)+3cos(y)=7[/tex3]

Com [tex3]\alpha=arctg(\frac{1}{3})[/tex3]

A ideia aqui é que [tex3](2\sqrt{10})^2+3^2=7^2[/tex3]. Isso te leva a pensar que [tex3]x-\alpha=0[/tex3] para que [tex3]cos(x-\alpha)=1[/tex3] e tenhamos apenas [tex3]2\sqrt{10}sen(y)+3cos(y)=7 \rightarrow sen(y+\beta)=1[/tex3] com [tex3]\beta=arctg(\frac{3}{2\sqrt{10}})[/tex3]

Não é a coisa mais fácil de se enxergar mas eu não vejo como simplificar ainda mais aquela expressão.

Enfim, daí concluímos que [tex3]x=arctg(\frac{1}{3})[/tex3] e [tex3]y+\beta=\frac{\pi}{2} \rightarrow y=\frac{\pi}{2}-arctg(\frac{3\sqrt{10}}{20})=arctg(\frac{20}{3\sqrt{10}})=arctg(\frac{2\sqrt{10}}{3})[/tex3]

Então queremos [tex3]\frac{1}{9}+2.\frac{40}{9}=\frac{81}{9}=9[/tex3]