Pré-Vestibular ⇒ (UNIFENAS) - Geometria Plana Tópico resolvido

[Mandynha]

Considere um quadrado de lado [tex3]2[/tex3]. Unindo os pontos médios do lados desse quadrado, obtém-se um novo quadrado. Unindo os pontos médios desse novo quadrado obtém-se outro quadrado. Repetindo-se esse processo indefinidamente, a soma das áreas de todos esses quadrados é:

a) [tex3]8[/tex3]
b) [tex3]32[/tex3]
c) [tex3]128[/tex3]
d) [tex3]1024[/tex3]
e) [tex3]infinito[/tex3]

[agp16]

Mandynha,

Questão de PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0.

quadrado PG.GIF (3.14 KiB) Exibido 5827 vezes

Àrea do quadrado ABCD:
[tex3]S_q=2.2=4[/tex3]
Àrea do quadrado amarelo:
[tex3]S_y=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2[/tex3]
Àrea do quadrado vermelho:
[tex3]S_r=1.1=1[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Usando a fórmula da soma de uma PG ILIMITADA, decrescente [tex3]S=\frac{a_1}{1-q}[/tex3], onde:[tex3]{a_1}=4[/tex3], corresponde ao valor da Àrea do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] e a razão entre os quadrados [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]S=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}\Rightarrow S=\frac{4}{\frac{2-1}{2}}\Rightarrow S=\frac{4}{\frac{1}{2}}\therefore S=8[/tex3]