IME / ITA ⇒ (COLÉGIO NAVAL - 1975) Equações Polinomiais Tópico resolvido

[agp16]

(COLÉGIO NAVAL - 1975)Calcular a soma dos valores de [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] de modo que as equações [tex3](2n+m)x^2-4mx+4=0[/tex3] e [tex3](6n+m)x^2-3(n-1)x-2=0[/tex3] tenham as mesmas raízes.

a) [tex3]\frac{9}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{7}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{-9}{5}[/tex3]
d) [tex3]0[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]
f) [tex3]N.R.A[/tex3]

[fabit]

Raízes iguais implica mesmo [tex3]S=\frac{-b}{a}[/tex3] e mesmo [tex3]P=\frac{c}{a}[/tex3] para as duas equações:

Sistema: [tex3]\begin{cases}\frac{4m}{2n+m}=\frac{3(n-1)}{6n+m}\\\frac{4}{2n+m}=\frac{-2}{6n+m}\end{cases}[/tex3]

Dá pra resumir assim [tex3]\frac{6n+m}{2n+m}=\frac{3(n-1)}{4m}=\frac{-2}{4}[/tex3]

Entre as duas últimas frações fica [tex3]\frac{3n-3}{\cancel{4}m}=\frac{-2}{\cancel{4}}\Rightarrow3n-3=-2m\Rightarrow3n+2m=3[/tex3]

Entre a primeira e a última: [tex3]\frac{6n+m}{2n+m}=\frac{-1}{2}\Rightarrow12n+2m=-2n-m\Rightarrow14n+3m=0[/tex3]

Então [tex3]\begin{cases}9n+6m=9\\28n+6m=0\end{cases}[/tex3]

Logo [tex3]19n=-9\Rightarrow n=\frac{-9}{19}[/tex3] e aí [tex3]3n-3=-2m\Rightarrow2m=3-3n=3-3\times\frac{-9}{19}[/tex3],
ou seja, [tex3]m=3+\frac{27}{19}=\frac{57+27}{19}=\frac{84}{19}[/tex3]

Finalmente, [tex3]m+n=\frac{84-9}{19}=\frac{75}{19}[/tex3] e aí fica letra E.

Será que está certo?

[agp16]

Grande Fabit,

Gostaria de agradecer as oportunidades em que solucionou as questões que postei. VALEU AMIGO. Nessa questão cometi um erro na digitação no termo do primeiro grau a questão pedia [tex3]+3[/tex3]. Poderia responder nessas condições?
[tex3](6n+m)x^2+3(n-1)x-2=0[/tex3]

[fabit]

Onde tinha 3n-3, troque por 3-3n e tente continuar, fazendo as adapatções necessárias.

[adrianotavares]

Olá, Agp16.

[tex3](2n+m)x^2- 4mx+4=0[/tex3]
[tex3](6n+m)x^2+3(n-1)x-2=0[/tex3]

Condições:

[tex3]\frac{a_1}{a_2}= \frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2}[/tex3]

[tex3]\frac{2n+m}{6n+m}= \frac{-4m}{3(n-1)}= \frac{4}{-2}[/tex3]

[tex3]\frac{2n+m}{6n+m}= \frac{4}{-2}[/tex3]

[tex3]\frac{2n+m}{6n+m}= -2[/tex3]

[tex3]2n+m= -12n-2m[/tex3]

[tex3]14n= -3m[/tex3]

[tex3]n= - \frac{3m}{14}[/tex3] (1)

[tex3]\frac{-4m}{3(n-1)}= -2[/tex3]

[tex3](- 4m)=-2(3n-3)[/tex3]

[tex3](-4m)= - 6n +6[/tex3]

[tex3]6n -4m = 6[/tex3] (2)

Resolvendo o sistema formado por (1) e (2) encontraremos:

[tex3]m = - \frac{42}{37}[/tex3] e [tex3]n= \frac{9}{37}[/tex3]

Logo, o valor de [tex3]m +n[/tex3] é:

[tex3]\frac{9}{37} - \frac{42}{37}=- \frac{33}{37}[/tex3]

Alternativa: f) [tex3]N.R.A[/tex3]