Estude! Com Prof. Caju

Em um vértice de um poliedro convexo concorrem 4 arestas que medem 3 cm. O volume do sólido convexo cujos vértices são os centros das faces de tal
poliedro mede, em [tex3]\text{cm}^3,[/tex3]

[tex3]\text{a)}\,2\sqrt 2 [/tex3]
[tex3]\text{b)}\,27 [/tex3]
[tex3]\text{c)}\,\frac{27\sqrt2}{32} [/tex3]
[tex3]\text{d)}\,\frac{3\sqrt6}{4} [/tex3]
[tex3]\text{e)}\,162\sqrt2[/tex3]

Olá mvgcsdf,

Do fato de ter quatro arestas concorrendo a cada vértice do poliedro, podemos tirar duas conclusões para a resolução da questão.

Sendo [tex3]V[/tex3] o número de vértices, se multiplicarmos por 4 teremos a quantidade de arestas que partem de todos os vértices. Mas cada aresta parte de dois vértices, portanto:

[tex3]A=\frac{4V}{2}[/tex3]

(1) [tex3]A=2V[/tex3]

Digamos que cada face deste poliedro possua n lados. Sabemos que cada aresta pertence a duas faces adjacentes, portanto, o dobro da quantidade A de arestas nos dá a quantidade de lados dos polígonos das faces. Dividindo esta quantidade por n teremos a quantidade de faces:

(2) [tex3]F=\frac{2A}{n}[/tex3]

Substituindo (1) em (2) temos:

(3) [tex3]F=\frac{4V}{n}[/tex3]

Da fórmula de Euler temos que

(3) [tex3]V+F=A+2[/tex3]

Substituindo (1) e (3) em (4):

[tex3]V+\frac{4V}{n}=2V+2[/tex3]

[tex3]V=\frac{2n}{4-n}[/tex3]

Note que o único valor possível de [tex3]n[/tex3], nesta situação, é [tex3]n=3[/tex3]. Pois [tex3]n=1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] não há face poligonal, [tex3]n=4[/tex3] divide por ZERO e [tex3]n\gt 4[/tex3] resulta [tex3]V\lt 0[/tex3]

Assim descobrimos que o poliedro possui faces triangulares, 6 vértices, 8 faces e 12 arestas. Ou seja, é um octaedro regular.

Agora será que você consegue terminar sozinho? Acredito que a parte mais difícil seja esta (não que o restante seja fácil, pelo contrário).

Qualquer dúvida, poste aqui mesmo.

Grande Caju! Obrigado pela força.
Seria agora o caso de somente calcular o volume do octaedro regular?

Olá mvgcsdf,

É pedido o volume do sólido convexo cujos vértices são os centros das faces do octaedro.

Se você fizer um desenho, verá que é um cubo. Veja a tentativa de desenho da situação que eu fiz no Paint...
Tente agora. Qualquer coisa, poste aqui.