Estude! Com Prof. Caju

Um navio levará estocado um latão de óleo contendo [tex3]100\,\pi\,\text{dm}^3[/tex3] de volume e deve ter a forma de um cilindro com base plana e base superior hemisférica. Desprezando a espessura do material, podemos afirmar que o raio r da base, para que seja gasto a menor quantidade possível de material para a confecção do latão é:

a) [tex3]3 \sqrt{60}[/tex3]
b) [tex3]2 \sqrt{15}[/tex3]
c) [tex3]4 \sqrt{50}[/tex3]
d) [tex3]3 \sqrt[3]{15}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt[3]{60}[/tex3]

Valeu a força:

[tex3]V_t=\pi HR^2+ \frac{\frac{4\pi R^3} 3} 2[/tex3]
[tex3]V_t=\pi HR^2+ \frac{2\pi R^3} 3[/tex3]]Volume Da Forma Em Questão

[tex3]A_t=\pi R^2+ 2 \pi RH + \frac{4\pi R^2} 2[/tex3]

[tex3]A_t=\pi R^2+ 2 \pi RH + 2\pi R^2[/tex3]

[tex3]A_t=3\pi R^2+ 2 \pi RH[/tex3]Área Da Forma Em Questão

Altura Em Função Do Volume:
[tex3]V - \pi h R^2 = \frac{2\pi R^3} 3[/tex3]

[tex3]\pi h R^2 = V - \frac{2\pi R^3} 3[/tex3]

[tex3]H= \frac{V}{\pi R^2} - \frac{2R} 3[/tex3]

Altura Em Função Da Área:
[tex3]A_t- 2 \pi RH=3\pi R^2[/tex3]

[tex3]2 \pi RH=A_t - 3\pi R^2[/tex3]

[tex3]H=\frac{A_t - 3\pi R^2}{2\pi R}[/tex3]


desenvolvimento:

eu poderia encontrar o vértice de A-V mas é uma equação de terceiro grau
cujo(s) pontos mínimos não sei calcular!
[tex3]\pi HR^2+ \frac 2 3 \pi R^3 =100\pi[/tex3]

[tex3]\left( \frac{V_t}{\pi R^2}-\frac 2 3 R \right)\pi R^2+\frac 2 3 \pi R^3 =100\pi[/tex3]
Foi Mal Galera!
[tex3]V_t- \frac 2 3 \pi R^3+\frac 2 3 \pi R^3 =100\pi[/tex3]
isso o enunciado já dizia!

[tex3]A_t=3\pi R^2+ 2 \pi RH[/tex3]
Sutstituí o H pela fórmula de altura em função do Volume

[tex3]A_t=3\pi R^2+ 2 \pi R \left( \frac{V}{\pi R^2} - \frac{2R} 3 \right)[/tex3]

[tex3]A_t=3\pi R^2+ 2 \frac{V}{R} - \frac{4\pi R^2} 3 [/tex3]

[tex3]A_t=\frac 5 3 \pi R^2+ 2 \frac{V}{R}[/tex3]

Até eu sei que esse necosio de função é a combinação de todas as partes
separadas por '+' ou '-'. E que o angulo da linha no gráfico tem um tangente.
para equações de primeiro grau y = ax+b eu sei que é a agora
começam os chutes, de y = ax²+c deve ser 2ax porque está multiplicando. y = a/x fica mais complicado mas conhecendo o
comportamento desse gráfico eu dá para aceitar a idéia que seja -a/b². porque?
1.[tex3]\frac a 0 = \infty[/tex3]
2.[tex3]\frac {a} {\infty} = 0[/tex3]
3.[tex3]y \cdot x = a[/tex3]

Acredito tambem que a soma do tangente dos ângulos de cada uma dessas
partes é equivalente ao ângulo no gráfico da função principal. FERROU !!! então
para a função y = ax² o valor é A = 2ax porque x = -b/2a ao mesmo tempo que o ângulo é 0.

Derivando essa função [tex3]A_t[/tex3] estã em seu ponto mínimo "derivada = 0" e V é constante.
derivando:

[tex3]A_t' = 0[/tex3] no ponto em que queremos

O volume é constante
[tex3]\frac 5 3 \pi R^2+\frac{200\pi}{R}[/tex3]

então:[tex3]0 =\pi\left( \frac 5 3 2R-\frac{200}{R^3} \right)[/tex3]

donde:

[tex3]\frac{10}3 R = \frac{200}{R^2}[/tex3]

[tex3]R^3 = 60[/tex3]

como só queremos a solução real:

[tex3]\sqrt[3]{60}[/tex3]

LETRA A

30/9/2007 eu edito isso, quanto respondi, não conhecia derivada, e asumi que a derivada de v/r fosse -v/r e por isso havia chegado em [tex3]2\sqrt{15}[/tex3]

[tex3]\text Area da superficie da esfera=4\pi{r^2}[/tex3]

[tex3]\text Volume da esfera=\frac{4\pi{r^3}}{3}[/tex3]

Valeu, Alexandre!!
Me amarrei na sua resolução.
Dá-lhe, garoto!!

Eu Me Amarrei Na Questão, De Tal Forma Que Levei Dois Dias Para Me Libertar
Se Tiver Outra Manda O Máximo Que Acontece E Ela Não Ser Respodida!

RÁ RÁ RÁ RÁ RÁ RÁ RÁ RÁ!!!
Gostei dessa: dois dias pra se libertar!!
Mas valeu mesmo mais uma vez pela força.
Tamos aí!