Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais de primeira ordem Tópico resolvido

[Shadowgal99]

Eu estava resolvendo a equação:

[tex3]y'+(2x/y)=2[/tex3],

E me pergunto : eu posso usar o fator integrante? É possível resolver por esse método ou terei que recorrer a outro?

[Cardoso1979]

Observe

Comentários e dicas:

1- A EDO dada não é linear, ou seja , não é do tipo y' + p(x).y = q(x) , por isso não é possível usar o método do fator integrante.

2- A EDO em questão, equivale a ( 2x - 2y ) dx + y dy = 0 e ao calcularmos [tex3]\frac{\partial M}{\partial y}[/tex3] e [tex3]\frac{\partial N}{\partial x}[/tex3] verificamos que a EDO não é exata, pois [tex3]\frac{\partial M}{\partial y}≠\frac{\partial N}{\partial x}[/tex3], logo , devemos "tentar" encontrar um fator integrante que ao multiplicarmos esse "fator integrante" pela EDO dada ela se transforme numa EDO exata, ou seja , [tex3]\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}[/tex3], porém , utilizando essa técnica, não será possível encontrar esse fator integrante que se encaixe nas condições ditas acima, pois ou o "fator integrante" vai está em função de x e y ( juntos ) no caso o h( y ) ou o g( x )vai estar em função de y, o que em ambos os casos não é possível determinar o fator integrante( aconselho a você pesquisar o referido assunto em algum livro , apostila , ou mesmo na internet, hoje em dia é fácil baixar livros em PDF pela internet )


3- Se o autor tivesse já fornecido o fator integrante aí seria bem simples a solução da EDO dada.

4- Talvez exista outra técnica que eu desconheço, ou então , você adivinhar ("chutar" na sorte ) um fator integrante que torne a EDO dada em exata!

5 - Uma maneira de resolver essa EDO é usando a seguinte substituição : y = vx → [tex3]\frac{dy}{dx}=x\frac{dv}{dx}+v[/tex3] e ainda [tex3]v=\frac{y}{x}[/tex3], já que a EDO dada é homogênea, o objetivo dessa substituição é para transformar a EDO dada numa EDO de variáveis separáveis.

Obs.1 A EDO equivale ainda a [tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{2y-2x}{y} \ (I)[/tex3].

Substituindo os dados acima em ( I ) , resulta;

[tex3]\frac{v}{-v^2+2v-2}dv=\frac{1}{x}dx[/tex3]

Então,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{v}{-v^2+2v-2}dv=\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx[/tex3]

Obs.2 Você utilizará frações parciais para resolver a integral à esquerda.

Nota

A "cara" da resposta final não é nada agradável!




Bons estudos!