Ensino Superior ⇒ Enumerabilidade Tópico resolvido

[deOliveira]

Prove que se [tex3]X[/tex3] é infinito e enumerável, então o conjunto das partes finitas de [tex3]X[/tex3] também é infinito enumerável.

[Cardoso1979]

Observe

Uma prova:

Seja [tex3]X=\{x_{1},x_{2},...\}[/tex3]. Temos que

[tex3]P=\bigcup_{i=1}^{∞}
\{A\subset \{x_{1},x_{2},...,x_{i}\}\}=\bigcup_{i=1}^{∞}
F_{i}.[/tex3]

Assim, card [tex3]F_{i}=2^i.[/tex3] Como P é uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis, então P é enumerável. C.q.p.




Bons estudos!

[Loreto]

Estranho que parece mais uma definição do que uma prova.

[Cardoso1979]

Observe

Outra prova:

Sabendo que o conjunto [tex3]P_{f}[/tex3] das partes finitas de [tex3]\mathbb{N}[/tex3] é dado por

[tex3]P_{f}=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}P_{i}[/tex3] , onde [tex3]P_{i}=\{A\subset \mathbb{N}:A=i\}[/tex3].

Basta provar que [tex3]P_{i}[/tex3] é infinito enumerável.

De fato, pois sendo assim, teríamos [tex3]P_{f}[/tex3] infinito enumerável por se tratar de uma união enumerável de enumeráveis. Além disso, a bijeção [tex3]\varphi : \ \mathbb{N}→X[/tex3] , obtida da enumerabilidade de X , estabeleceria uma bijeção [tex3]\psi \ : \
P_{f}→X_{f}[/tex3] onde [tex3]X_{f}[/tex3] é o conjunto das partes finitas de X , dada por [tex3]A↦\varphi (A)[/tex3] , que indicaria sua enumerabilidade.

Obs. Para provar que [tex3]P_{i}[/tex3] é enumerável, para todo [tex3]i\in \mathbb{N}[/tex3] , fixado arbitrariamente, considere a seguinte função:

Dado [tex3]A \in P_{i}[/tex3] , com [tex3]A=\{a_{1} < a_{2} < ... < a_{i} \}[/tex3] , seja [tex3]\phi \ : \ P_{i} → \mathbb{N}^i[/tex3] dada por [tex3]\phi (A)=(a_{1}, a_{2} , \ ... \ a_{i})[/tex3]. Claramente [tex3]\phi [/tex3] é injetiva. Portanto, do "corolário" e do "teorema" , [tex3]P_{i}[/tex3] é enumerável. C.q.p.



Nota

"Cérebro em manutenção" por tempo indeterminado!



Bons estudos!