Pré-Vestibular ⇒ (Mackenzie) Potenciação Tópico resolvido

[Heisenberg1]

O valor da expressão

[tex3]1 + 2 \cdot 2 + 3⋅ 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + ... + 99 \cdot 2^{98} + 100 \cdot 2^{99}[/tex3]

é igual a

a) [tex3]99 \cdot 2^{99}[/tex3]

b) [tex3]99 \cdot 2^{100} -1[/tex3]

c) [tex3]99 \cdot 2^{100}[/tex3]

d) [tex3]99 \cdot 2^{100} +1[/tex3]

e) [tex3]100 \cdot 2^{100}[/tex3]

Resposta

---

d

[MateusQqMDMOD]

Olá, Heisenberg1.

Essa é uma questão de "PA-PG", pois há termos em progressão aritmética e termos em progressão geométrica.

Uma ideia é chamar a soma pedida de [tex3]S,[/tex3] multiplicar pela razão da PG e depois realizar uma diferença.

[tex3]\begin{cases}
S = 1 + 2 \cdot 2 + 3⋅ 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + ... + 99 \cdot 2^{98} + 100 \cdot 2^{99}\\\\2S = 2\(1 + 2 \cdot 2 + 3⋅ 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + ... + 100 \cdot 2^{99}\)\end{cases}[/tex3]

[tex3]S - 2S = \underbrace{1 +2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{99} }_{ S_{pg}} - 100 \cdot 2^{100}[/tex3]

[tex3]-S = 2^{100} - 1 - 100 \cdot 2^{100}[/tex3]

[tex3]S =99 \cdot 2^{100} +1.[/tex3]