IME / ITA ⇒ (ITA) Geometria Espacial: Pirâmides Tópico resolvido

[barbarahass]

Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de [tex3]2cm[/tex3]. sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45º. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a:

a) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

b) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

c) [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

d) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Resposta

---

Resp: D

[mvgcsdf]

Oi, Bárbara. Tudo bem?
A base da pirâmide é um quadrado e as faces laterais são triângulos.
O apótema da base vale [tex3]ap = \frac{l}{2} = \frac{4}{2} = 2[/tex3].
Como as faces formam com a base ângulos de 45º, para calcular a altura da pirâmide faremos:
[tex3]tg(45) = \frac{h}{ap}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]1 = \frac{h}{2}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]h = 2[/tex3]
O apótema da pirâmide vale:
[tex3]g^{2} = h^{2} + ap^{2}[/tex3]
[tex3]g^{2} = 2^{2} + 2^{2}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]g = 2\sqrt{2}[/tex3]
A área da base da pirâmide vale:
[tex3]SB = l^{2}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]SB = 2^{2}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]SB = 4cm^{2}[/tex3]
A área lateral da pirâmide vale:
[tex3]Sl = \frac{l \times g}{2}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]Sl = \frac{4 \times 2\sqrt{2}}{2}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]Sl=4\sqrt{2}[/tex3]
A razão entre a área da base e a área lateral vale:
[tex3]\frac{SB}{Sl}= \frac{4}{4\sqrt{2}}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]\frac{SB}{Sl}= \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{SB}{Sl}= \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
RESPOSTA: D