Demonstrações ⇒ Demonstração - Calculando [tex3]\int_0 ^x \sen t ~ dt[/tex3] com um pêndulo

[Planck]

Primeiro, devemos recordar que o trabalho de uma força aplicada ao longo de um caminho [tex3]c[/tex3] pode ser calculado por uma integral de linha:

[tex3]\text W_c = \int_c \text F \cdot d \text r \,\, \Rightarrow \begin{cases} \text {F: vetor força} \\ \text {r: vetor deslocamento}\end{cases}[/tex3]

Além disso, o vetor deslocamento no movimento circular, considerando uma variação [tex3]t[/tex3] de tempo, é dado por [tex3]\vec r = t + dt.[/tex3]

Agora, vamos considerar uma partícula de peso [tex3]P=1,[/tex3] presa na extremidade de um fio inextensível de comprimento [tex3]L = 1.[/tex3] Uma força, dada por [tex3]\sen t[/tex3] é exercida para manter o pêndulo sob um ângulo de [tex3]t[/tex3] em relação ao eixo vertical, conforme a figura 1:

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Figura 1.

Como o comprimento da haste é [tex3]1,[/tex3] o ângulo [tex3]t[/tex3] mede o comprimento (do arco) ao longo do setor circular descrito pelo pêndulo. Portanto, o trabalho necessário para mover a massa pontual de [tex3]t[/tex3] para [tex3]t + dt[/tex3] é dado por [tex3]\sen t ~ dt[/tex3] e o trabalho total necessário para movimentar a massa pontual do ponto mais baixo [tex3]t=0[/tex3] para [tex3]t=x[/tex3] é [tex3]\int_0 ^x\sen t ~ dt.[/tex3] Contudo, a mudança na energia potencial é dada por [tex3]\text {(massa)}\times \text{(altura)} = 1 -\cos x[/tex3] (figura 1.1).

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Figura 1.1.

Equacionando as duas expressões para a mesma energia, vem que:

[tex3]{\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {{\int_0}_{_{{⠀}_{⠀}}} ^ x \sen t ~ dt = 1 - \cos x}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]