Pré-Vestibular ⇒ UFAM(2019) - Geometria Analítica Tópico resolvido

[Albe]

Seja 𝐶 uma circunferência centrada na origem do
plano cartesiano e de raio 𝛼. Considere 𝑟 e 𝑠 retas
tangentes a 𝐶 em (−1/2, 1/2) e (1/2, 1/2),
respectivamente. Então, é CORRETO afirmar que:

a) as retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e o ponto de
interseção das retas é o ponto (0,1).
b) as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas e 𝛼 é igual a [tex3]\frac{2}{\sqrt2}[/tex3].
c) as equações de 𝑟 e 𝑠 são, respectivamente, iguais a
𝑦 = −3𝑥 + 2 e 𝑦 = 3𝑥 +2.
d) o ponto de interseção das retas 𝑟 e 𝑠 é o ponto
(0,2).
e) a equação de 𝑟 é igual a 𝑦 = −𝑥 e 𝛼 é igual a [tex3]\frac{2}{\sqrt2}[/tex3].

Resposta

---

A

[Tassandro]

Faça [tex3]r(x)=ax+b[/tex3] e [tex3]s(x)=-ax+b[/tex3], por simetria. Veja que a vale 1, pois equivale à tangente do ângulo formado entre a reta r e o eixo x, cujo valor pode ser encontrado pela razão entre o módulo dos dois pontos.
Sendo assim, a tangente desse ângulo vale 1, logo, [tex3]a=1[/tex3] e esse ângulo é 45°. Portanto, o menor ângulo formado pela reta s com o eixo x também será 45°, então, como a soma dos ângulos de um triângulo vale 180°, as retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] são perpendiculares. Agora, vamos achar o valor de b usando o fato de que
[tex3]r(-1/2)=1/2\implies -1/2+b=1/2\iff b=1[/tex3]. Logo, a ponto de interação dessas duas retas é o ponto [tex3]b[/tex3], que está no eixo [tex3]y[/tex3], cujo valor é 1.
Letra A

[Albe]

Desculpe-me, mas de onde o senhor tirou o fato para achar o valor de b?
Desde já, agradeço pela resposta

[Tassandro]

Desculpe-me, mas de onde o senhor tirou o fato para achar o valor de b?
Desde já, agradeço pela resposta

Eu usei o fato de que o valor da função [tex3]r(x)[/tex3] no ponto [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3] vale
[tex3]y=\frac{1}{2}[/tex3]
Caso não tenha entendido, recomendo que leia:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_afim

[Albe]

Muito obrigado, Tassandro!