Física I ⇒ (Souza Marques 2012) Esfera em Trilho Circular Tópico resolvido

[mandycorrea]

Uma esfera de aço de dimensões desprezíveis é abandonada na extremidade A de um trilho ABCD cujo trecho BCD é circular de raio R e centro em O, como mostra a figura. A extremidade A encontra-se a uma altura 2R acima do plano horizontal que contém o ponto B e o ponto C encontra-se a uma altura R acima desse mesmo plano. Considere todos os atritos desprezíveis.

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Marque a única afirmativa verdadeira:
(A) a esfera só perderá o contato com o trilho quando atingir o ponto D.
(B) quando a esfera estiver no ponto C, a resultante das forças que atuam sobre ela forma um ângulo de 45º com a horizontal.
(C) a energia cinética da esfera no instante em que ela passa pelo ponto B é quatro vezes a sua energia cinética quando passa pelo ponto C.
(D) mesmo perdendo o contato com o trilho circular,a altura máxima atingida pela esfera é igual à sua altura inicial, isto é, a altura do ponto A.
(E) a altura máxima atingida pela esfera, depois que ela perde o contato com o trilho circular, não depende de sua massa.

Resposta

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letra E

[Planck]

Olá, mandycorrea.

Para esfera perder o contato com o trilho no ponto [tex3]\text D[/tex3], faz-se necessário que a velocidade seja menor que a velocidade mínima, dada por [tex3]\text v = \sqrt {\text R \cdot \text g}[/tex3]. Não podemos afirmar que ela irá se soltar somente nesse ponto. Por exemplo, observe o ponto [tex3]\text C[/tex3], vamos analisar a conservação da energia mecânica:

[tex3]\text m \cdot \text g \cdot 2 \text R = \frac{\text m \cdot \text v^2}{2} + \text m \cdot \text g \cdot \text R \implies \text v = \sqrt{2 \text R \cdot \text g}[/tex3]

Para o ponto [tex3]\text D[/tex3]:

[tex3]\text m \cdot \text g \cdot 2 \text R = \frac{\text m \cdot \text v^2}{2} + \text m \cdot \text g \cdot 2 \text R \implies \text v = 0[/tex3]

Ela perde o contato em algum momento entre o ponto [tex3]\text D[/tex3] e o ponto [tex3]\text C[/tex3]. No ponto [tex3]\text C[/tex3], atuam sobre a esfera a força peso e a força normal. A força peso orientada para baixo e a força normal orientada para o centro da trajetória. Contudo, não podemos garantir que o ângulo da força resultante será de [tex3]45 \degree[/tex3]. A energia cinética no ponto [tex3]\text B[/tex3] e [tex3]\text C[/tex3] será dada por:

[tex3]\begin{cases}
\text B : ~ \text m \cdot \text g \cdot 2 \text R = \text E_\text c \\
\text C: ~ \text m\cdot \text g \cdot \text R = \text E_\text c
\end{cases}[/tex3]

Não é o quádruplo, como podemos inferir. Além disso, notamos que a esfera perde o contato com trilho antes do ponto [tex3]\text A[/tex3], ou seja, em uma altura [tex3]\text h < 2 \text R[/tex3]. A altura máxima que a esfera atinge depois de perder o contato com o trilho depende do raio, da velocidade e da gravidade local, ou seja, não depende da massa.

[Tassandro]

mandycorrea,
Vamos adotar como nível de referência o solo [tex3](h_{solo}=0).[/tex3] e o sentido positivo para cima.
Pela conservação da energia mecânica do sistema, podemos fazer:
[tex3]\displaystyle E_0=E_f\implies (mg2R=mgh_{máx}+\frac{mv^2}{2})\space ×\left(\frac{1}{m}\right)\implies 2Rg=gh_{máx}+\frac{v^2}{2}\\
\therefore \boxed{\color{blue}h_{máx}=2R-\frac{v^2}{2g}}[/tex3]
Note que a massa não aparece na expressão encontrada para [tex3]h_{máx},[/tex3] logo [tex3]h_{máx}[/tex3] não depende da massa. Espero ter ajudado!